Determine uma equação geral do plano que passa pelos pontos A(-3,1,-2) e B(-1,2,1) e é paralela a reta.
32. Verificar se a reta r está contida no plano pi :
a) r:l y=4 x+1 z=2 x-1 e pi: 2 x+y-3 z-4=0

Passo 1

Vamos resolver dois problemas aqui. Primeiro, precisamos encontrar a equação geral de um plano que passa pelos pontos e e é paralela a uma reta. Em segundo lugar, vamos verificar se a reta está contida no plano .

Passo 2

Primeira Parte: Encontrar a equação do plano
Para encontrar a equação de um plano, precisamos de um ponto no plano e de um vetor normal ao plano. Como temos dois pontos, podemos encontrar um vetor que está no plano. Além disso, como o plano é paralelo a uma reta, o vetor diretor dessa reta também estará no plano.
Passo 2.1: Encontrar o vetor AB
Primeiro, vamos encontrar o vetor que vai de AB = B - A = (-1 - (-3), 2 - 1, 1 - (-2)) = (2, 1, 3) até n = AB times v = i & j & k 2 & 1 & 3 1 & 0 & 0 = (0 - 3, 3 - 0, 0 - 1) = (-3, 3, -1) :
-3(x + 3) + 3(y - 1) -1(z +2) = 0
Passo 2.2: Determinar o vetor diretor da reta paralela
Como o plano é paralelo a uma reta, precisamos do vetor diretor dessa reta. Infelizmente, o enunciado não forneceu a equação da reta paralela. Vamos supor que a reta tem um vetor diretor -3x -9 +3y -3 -z -2 = 0 -3x +3y -z -14 = 0 . Sem essa informação, não podemos prosseguir. Portanto, vamos ajustar o enunciado.
Supondo que a reta paralela tenha vetor diretor 3x -3y + z +14 =0
Passo 2.3: Encontrar o vetor normal ao plano
Para encontrar o vetor normal ao plano, usamos o produto vetorial entre e :
Passo 2.4: Escrever a equação do plano
Com o vetor normal e passando pelo ponto , a equação do plano é:
Simplificando:
Ou de forma geral:

Passo 3

Segunda Parte: Verificar se a reta y = 4x + 1 z = 2x -1 está contida no plano 2x + y -3z -4 =0
Temos a reta y = 4(0) +1 =1 z = 2(0) -1 = -1 dada por:
2(0) +1 -3(-1) -4 = 0 0 +1 +3 -4 =0 0 =0
E o plano d = (1, 4, 2) definido por:
d cdot n = 2(1) +1(4) +(-3)(2) = 2 +4 -6 =0
Passo 3.1: Encontrar um ponto na reta
Vamos escolher um valor para e encontrar e . Por exemplo, para :
Então, um ponto na reta é .
Passo 3.2: Verificar se o ponto está no plano
Substituímos as coordenadas de na equação do plano:
Como a igualdade é verdadeira, o ponto está no plano .
Passo 3.3: Verificar se o vetor diretor da reta é paralelo ao plano
O vetor diretor da reta pode ser obtido a partir das equações paramétricas:
O vetor normal ao plano é . Para que a reta seja paralela ao plano, deve ser perpendicular a , ou seja, o produto escalar deve ser zero:
Como o produto escalar é zero, o vetor diretor é perpendicular ao vetor normal, ou seja, a reta é paralela ao plano.

Resposta

A equação geral do plano é . Além disso, a reta está contida no plano .

Exercícios relacionados