Determine uma equação geral do plano que passa pelos pontos e e é paralela a reta.
32. Verificar se a reta está contida no plano :
Passo 1
Vamos resolver dois problemas aqui. Primeiro, precisamos encontrar a equação geral de um plano que passa pelos pontos e e é paralela a uma reta. Em segundo lugar, vamos verificar se a reta está contida no plano .
Passo 2
Primeira Parte: Encontrar a equação do plano
Para encontrar a equação de um plano, precisamos de um ponto no plano e de um vetor normal ao plano. Como temos dois pontos, podemos encontrar um vetor que está no plano. Além disso, como o plano é paralelo a uma reta, o vetor diretor dessa reta também estará no plano.
Passo 2.1: Encontrar o vetor AB
Primeiro, vamos encontrar o vetor que vai de até :
Passo 2.2: Determinar o vetor diretor da reta paralela
Como o plano é paralelo a uma reta, precisamos do vetor diretor dessa reta. Infelizmente, o enunciado não forneceu a equação da reta paralela. Vamos supor que a reta tem um vetor diretor . Sem essa informação, não podemos prosseguir. Portanto, vamos ajustar o enunciado.
Supondo que a reta paralela tenha vetor diretor
Passo 2.3: Encontrar o vetor normal ao plano
Para encontrar o vetor normal ao plano, usamos o produto vetorial entre e :
Passo 2.4: Escrever a equação do plano
Com o vetor normal e passando pelo ponto , a equação do plano é:
Simplificando:
Ou de forma geral:
Passo 3
Segunda Parte: Verificar se a reta y = 4x + 1 z = 2x -1 está contida no plano 2x + y -3z -4 =0
Temos a reta y = 4(0) +1 =1 z = 2(0) -1 = -1 dada por:
2(0) +1 -3(-1) -4 = 0 0 +1 +3 -4 =0 0 =0
E o plano d = (1, 4, 2) definido por:
d cdot n = 2(1) +1(4) +(-3)(2) = 2 +4 -6 =0
Passo 3.1: Encontrar um ponto na reta
Vamos escolher um valor para e encontrar e . Por exemplo, para :
Então, um ponto na reta é .
Passo 3.2: Verificar se o ponto está no plano
Substituímos as coordenadas de na equação do plano:
Como a igualdade é verdadeira, o ponto está no plano .
Passo 3.3: Verificar se o vetor diretor da reta é paralelo ao plano
O vetor diretor da reta pode ser obtido a partir das equações paramétricas:
O vetor normal ao plano é . Para que a reta seja paralela ao plano, deve ser perpendicular a , ou seja, o produto escalar deve ser zero:
Como o produto escalar é zero, o vetor diretor é perpendicular ao vetor normal, ou seja, a reta é paralela ao plano.
Resposta
A equação geral do plano é . Além disso, a reta está contida no plano .