Estabeleça uma equação reduzida na variável x da reta de interseção entre os planos.
35. Determine o ponto de interseção da reta r com o plano pi.
r: x=3 t, y=1-2 t, z=-t e pi: 2 x+3 y-2 z-7=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício número 35 juntos! A questão pede para a gente determinar o ponto de interseção da reta com o plano . Vamos precisar entender como uma reta e um plano se encontram no espaço tridimensional. Para isso, vamos usar as equações paramétricas da reta e a equação geral do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações que temos:
A reta x = 3t, y = 1 - 2t, z = -t está parametrizada por:
2x + 3y - 2z - 7 = 0
Aqui, é o parâmetro que varia.
O plano é dado por:

Passo 3

Para achar o ponto de interseção, vamos substituir as expressões de , e da reta na equação do plano . Isso nos vai permitir encontrar o valor de que faz a reta passar pelo plano.

Passo 4

Substituindo na equação do plano:
2(3t) + 3(1 - 2t) - 2(-t) - 7 = 0
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de .

Passo 5

Vamos simplificar os termos:
6t + 3 - 6t + 2t - 7 = 0
Agora, somamos os termos semelhantes.

Passo 6

Somando os termos:
(6t - 6t + 2t) + (3 - 7) = 0
2t - 4 = 0

Passo 7

Isolando 2t = 4 :
t = 2

Passo 8

Agora que encontramos x = 3(2) = 6 , vamos substituir esse valor de volta nas equações paramétricas da reta y = 1 - 2(2) = 1 - 4 = -3 para encontrar as coordenadas do ponto de interseção.
z = -2

Resposta

O ponto de interseção da reta com o plano é .

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