Seja a x+b y+c z+d=0 a equação de um plano pi que não passa pela origem e corta os três eixos.
Determine a interseção de pi com os eixos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a equação de um plano no espaço tridimensional: . A gente precisa descobrir onde esse plano corta os três eixos (x, y e z). Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica. O que vamos precisar é saber como encontrar os pontos de interseção de um plano com os eixos coordenados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a interseção com o eixo x. Nesse caso, tanto y quanto z são zero porque qualquer ponto no eixo x tem essas coordenadas iguais a zero. Então, substituímos a x + b (0) + c (0) + d = 0 Rightarrow a x + d = 0 e x = -da na equação do plano:
Agora, resolvemos para :
Então, o ponto de interseção com o eixo x é .

Passo 3

Agora, vamos achar a interseção com o eixo y. Aqui, x e z são zero. Substituímos a (0) + b y + c (0) + d = 0 Rightarrow b y + d = 0 e y = -db na equação:
Resolvendo para :
Assim, o ponto de interseção com o eixo y é .

Passo 4

Por fim, vamos encontrar a interseção com o eixo z. Nesse caso, x e y são zero. Substituímos a (0) + b (0) + c z + d = 0 Rightarrow c z + d = 0 e z = -dc na equação do plano:
Resolvendo para :
Portanto, o ponto de interseção com o eixo z é .

Resposta

As interseções do plano com os eixos são:
  • Eixo x:
  • Eixo y:
  • Eixo z:

Exercícios relacionados