Determine os vetores unitários tais que cada um deles faz um ângulo de com o vetor e um ângulo de com com o vetor
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para encontrar vetores unitários que fazem um ângulo específico com dois vetores dados: um de ângulo com o vetor e outro de ângulo com o vetor . Aqui, estamos trabalhando com vetores unitários e ângulos entre vetores, usando conceitos de produto escalar e normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o ângulo entre dois vetores usando o produto escalar. A fórmula é:
Como estamos lidando com vetores unitários, . Isso simplifica a fórmula para:
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula para os dois casos dados. Seja o vetor unitário que queremos encontrar.
Para o primeiro vetor e :
Primeiro, calculamos a magnitude de :
Então:
Passo 4
Agora, para o segundo vetor e :
Calculamos a magnitude de :
Então:
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, podemos isolar :
Substituindo na primeira equação:
Passo 6
Agora, precisamos lembrar que é um vetor unitário, ou seja:
Substituindo :
Passo 7
Da equação , podemos isolar :
Substituindo na equação :
Multiplicando tudo por 16 para eliminar as frações:
Passo 8
Vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então:
Passo 9
Agora, encontramos duas possíveis soluções para . Vamos calcular e para cada caso.
Primeira solução ():
Segunda solução ():
Resposta
Os vetores unitários que satisfazem as condições são: