Determine os vetores unitários tais que cada um deles faz um ângulo de com o vetor e um ângulo de com com o vetor

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para encontrar vetores unitários que fazem um ângulo específico com dois vetores dados: um de ângulo com o vetor e outro de ângulo com o vetor . Aqui, estamos trabalhando com vetores unitários e ângulos entre vetores, usando conceitos de produto escalar e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o ângulo entre dois vetores usando o produto escalar. A fórmula é:
Como estamos lidando com vetores unitários, . Isso simplifica a fórmula para:

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula para os dois casos dados. Seja o vetor unitário que queremos encontrar.
Para o primeiro vetor e :
Primeiro, calculamos a magnitude de :
Então:

Passo 4

Agora, para o segundo vetor e :
Calculamos a magnitude de :
Então:

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, podemos isolar :
Substituindo na primeira equação:

Passo 6

Agora, precisamos lembrar que é um vetor unitário, ou seja:
Substituindo :

Passo 7

Da equação , podemos isolar :
Substituindo na equação :
Multiplicando tudo por 16 para eliminar as frações:

Passo 8

Vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então:

Passo 9

Agora, encontramos duas possíveis soluções para . Vamos calcular e para cada caso.
Primeira solução ( ):
Segunda solução ( ):

Resposta

Os vetores unitários que satisfazem as condições são:
e

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.
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