Determine os vetores unitários tais que cada um deles faz um ângulo de
com o vetor
e um ângulo de
com com o vetor
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para encontrar vetores unitários que fazem um ângulo específico com dois vetores dados: um de ângulo
com o vetor
e outro de ângulo
com o vetor
. Aqui, estamos trabalhando com vetores unitários e ângulos entre vetores, usando conceitos de produto escalar e normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o ângulo entre dois vetores usando o produto escalar. A fórmula é:
Como estamos lidando com vetores unitários,
. Isso simplifica a fórmula para:
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula para os dois casos dados. Seja
o vetor unitário que queremos encontrar.
Para o primeiro vetor
e
:
Primeiro, calculamos a magnitude de
:
Então:
Passo 4
Agora, para o segundo vetor
e
:
Calculamos a magnitude de
:
Então:
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, podemos isolar
:
Substituindo na primeira equação:
Passo 6
Agora, precisamos lembrar que
é um vetor unitário, ou seja:
Substituindo
:
Passo 7
Da equação
, podemos isolar
:
Substituindo na equação
:
Multiplicando tudo por 16 para eliminar as frações:
Passo 8
Vamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então:
Passo 9
Agora, encontramos duas possíveis soluções para
. Vamos calcular
e
para cada caso.
Primeira solução (
):
Segunda solução (
):
Resposta
Os vetores unitários que satisfazem as condições são:
e