Determine os vetores unitários tais que cada um deles faz um ângulo de pi3 com o vetor (2,2,-1) e um ângulo de pi4 com com o vetor (0,1,-1)

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para encontrar vetores unitários que fazem um ângulo específico com dois vetores dados: um de ângulo pi3 com o vetor (2,2,-1) e outro de ângulo pi4 com o vetor (0,1,-1). Aqui, estamos trabalhando com vetores unitários e ângulos entre vetores, usando conceitos de produto escalar e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o ângulo entre dois vetores usando o produto escalar. A fórmula é:
cos(theta) = u cdot v||u|| , ||v||
Como estamos lidando com vetores unitários, ||u|| = 1. Isso simplifica a fórmula para:
cos(theta) = u cdot v

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula para os dois casos dados. Seja u = (x, y, z) o vetor unitário que queremos encontrar.
Para o primeiro vetor (2,2,-1) e theta = pi3:
cos(pi3) = u cdot (2,2,-1) / ||(2,2,-1)||
Primeiro, calculamos a magnitude de (2,2,-1):
||(2,2,-1)|| = raiz2^2 + 2^2 + (-1)^2 = raiz4 + 4 + 1 = raiz9 = 3
Então:
12 = 2x + 2y - z3 implies 2x + 2y - z = 32

Passo 4

Agora, para o segundo vetor (0,1,-1) e theta = pi4:
cos(pi4) = u cdot (0,1,-1) / ||(0,1,-1)||
Calculamos a magnitude de (0,1,-1):
||(0,1,-1)|| = raiz0^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz0 + 1 + 1 = raiz2
Então:
raiz22 = 0x + y - zraiz2 implies y - z = 1

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações:
2x + 2y - z = 32 y - z = 1
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, podemos isolar z:
z = y - 1
Substituindo na primeira equação:
2x + 2y - (y - 1) = 32 2x + y + 1 = 32 2x + y = 12

Passo 6

Agora, precisamos lembrar que u é um vetor unitário, ou seja:
x^2 + y^2 + z^2 = 1
Substituindo z = y - 1:
x^2 + y^2 + (y - 1)^2 = 1 x^2 + y^2 + y^2 - 2y + 1 = 1 x^2 + 2y^2 - 2y = 0

Passo 7

Da equação 2x + y = 12, podemos isolar x:
x = 14 - y2
Substituindo na equação x^2 + 2y^2 - 2y = 0:
(14 - y2)^2 + 2y^2 - 2y = 0 116 - y4 + y^24 + 2y^2 - 2y = 0 116 - 9y4 + 9y^24 = 0
Multiplicando tudo por 16 para eliminar as frações:
1 - 36y + 36y^2 = 0 36y^2 - 36y + 1 = 0

Passo 8

Vamos resolver a equação quadrática:
36y^2 - 36y + 1 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
y = 36 pm raiz(-36)^2 - 4 cdot 36 cdot 12 cdot 36 y = 36 pm raiz1296 - 14472 y = 36 pm raiz115272 raiz1152 = 16 raiz3
Então:
y = 36 pm 16raiz372 y = 9 pm 4raiz318 y = 12 pm 2raiz39

Passo 9

Agora, encontramos duas possíveis soluções para y. Vamos calcular x e z para cada caso.
Primeira solução ( y = 12 + 2raiz39):
x = 14 - 12(12 + 2raiz39) = 14 - 14 - raiz39 = -raiz39
z = y - 1 = 12 + 2raiz39 - 1 = -12 + 2raiz39
Segunda solução ( y = 12 - 2raiz39):
x = 14 - 12(12 - 2raiz39) = 14 - 14 + raiz39 = raiz39
z = y - 1 = 12 - 2raiz39 - 1 = -12 - 2raiz39

Resposta

Os vetores unitários que satisfazem as condições são:
u1 = ( -raiz39, 12 + 2raiz39, -12 + 2raiz39 )
e
u2 = ( raiz39, 12 - 2raiz39, -12 - 2raiz39 )

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