Determine a equação geral do plano:
passando pelos pontos , 1), e ;
Passo 1
Beleza! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação geral de um plano que passa por três pontos no espaço: , e . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e vetores, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que um plano no espaço tridimensional pode ser definido por uma equação do tipo:
Onde , , são os coeficientes que determinam a orientação do plano, e é o deslocamento.
Passo 3
Para encontrar esses coeficientes, precisamos de um vetor normal ao plano, que é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano. Podemos obter esse vetor normal calculando o produto vetorial entre dois vetores que ligam os pontos dados.
Passo 4
Vamos criar dois vetores no plano usando os pontos , e :
Passo 5
Agora, calculamos o produto vetorial desses dois vetores para encontrar o vetor normal :
= i(4 + 2) - j(-2 - 5) + k(-2 + 10)
= 6i + 7j + 8k
Então, .
Passo 6
Agora que temos o vetor normal, podemos usar a equação geral do plano. Sabemos que se A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 é um ponto no plano, então a equação é:
6(x - 4) + 7(y - 0) + 8(z - 1) = 0
Vamos usar o ponto para substituir na equação:
Passo 7
Agora, vamos simplificar essa equação:
6x - 24 + 7y + 8z - 8 = 0
6x + 7y + 8z - 32 = 0
Resposta
A equação geral do plano que passa pelos pontos 6x + 7y + 8z - 32 = 0 , e é: