Determine a equação geral do plano:
passando pelos pontos A:(4,0, 1), B:(3,2,0) e C:(-1,2,3);

Passo 1

Beleza! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação geral de um plano que passa por três pontos no espaço: , e . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e vetores, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que um plano no espaço tridimensional pode ser definido por uma equação do tipo:
Ax + By + Cz + D = 0
Onde , , são os coeficientes que determinam a orientação do plano, e é o deslocamento.

Passo 3

Para encontrar esses coeficientes, precisamos de um vetor normal ao plano, que é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano. Podemos obter esse vetor normal calculando o produto vetorial entre dois vetores que ligam os pontos dados.

Passo 4

Vamos criar dois vetores no plano usando os pontos AB = B - A = (3 - 4, 2 - 0, 0 - 1) = (-1, 2, -1) , AC = C - A = (-1 - 4, 2 - 0, 3 - 1) = (-5, 2, 2) e :

Passo 5

Agora, calculamos o produto vetorial desses dois vetores para encontrar o vetor normal n = AB times AC = i & j & k -1 & 2 & -1 -5 & 2 & 2 :
= i(2 cdot 2 - (-1) cdot 2) - j((-1) cdot 2 - (-1) cdot (-5)) + k((-1) cdot 2 - 2 cdot (-5))
= i(4 + 2) - j(-2 - 5) + k(-2 + 10)
= 6i + 7j + 8k
Então, .

Passo 6

Agora que temos o vetor normal, podemos usar a equação geral do plano. Sabemos que se A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 é um ponto no plano, então a equação é:
6(x - 4) + 7(y - 0) + 8(z - 1) = 0
Vamos usar o ponto para substituir na equação:

Passo 7

Agora, vamos simplificar essa equação:
6x - 24 + 7y + 8z - 8 = 0
6x + 7y + 8z - 32 = 0

Resposta

A equação geral do plano que passa pelos pontos 6x + 7y + 8z - 32 = 0 , e é:

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