Encontre a equação do plano que: paralelo a x e contém A(-2,4,-1) B(-1,2,3);

Passo 1

Beleza, vamos resumir a questão: queremos encontrar a equação de um plano que seja paralelo ao eixo e que passe pelos pontos e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações de planos e vetores. Precisaremos encontrar um vetor normal ao plano e usar um dos pontos para montar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o plano ser paralelo ao eixo . Se um plano é paralelo ao eixo , isso implica que a direção do eixo , representada pelo vetor , está contida no plano. Ou seja, o vetor é tangente ao plano.

Passo 3

Agora, precisamos de outro vetor que esteja no plano. Como o plano contém os pontos AB = B - A = (-1 - (-2), 2 - 4, 3 - (-1)) = (1, -2, 4) e , podemos encontrar o vetor que vai de a . Calculando:

Passo 4

Temos dois vetores no plano: n = i times AB = i & j & k 1 & 0 & 0 1 & -2 & 4 = (0 cdot 4 - 0 cdot (-2))i - (1 cdot 4 - 0 cdot 1)j + (1 cdot (-2) - 0 cdot 1)k e n = (0)i - (4)j + (-2)k = (0, -4, -2) . Para encontrar o vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos, usamos o produto vetorial desses vetores:
n = (0, 2, 1)
Podemos simplificar dividindo por :

Passo 5

Com o vetor normal n cdot (r - r0) = 0 e sabendo que o plano passa pelo ponto 0(x + 2) + 2(y - 4) + 1(z + 1) = 0 , usamos a equação geral do plano:
2y - 8 + z + 1 = 0
Onde 2y + z - 7 = 0 e . Calculando o produto escalar:

Resposta

A equação do plano é .

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