Encontre a equação do plano que: contém A(1,-2,3) B(-2,- 1,-1) e é perpendicular ao plano pi: 3 x-7 y+z-4=0

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação de um plano que contém os pontos A(1, -2, 3) e B(-2, -1, -1). Além disso, esse plano tem que ser perpendicular ao plano dado pela equação pi: 3x - 7y + z - 4 = 0. Vamos usar conceitos de geometria espacial, como vetores e vetores normais, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um vetor diretor no plano que queremos encontrar. Como o plano contém os pontos A e B, podemos tirar um vetor que vai de A até B. Para isso, subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B:
AB = B - A = (-2 - 1, -1 - (-2), -1 - 3) = (-3, 1, -4)
Então, o vetor AB = (-3, 1, -4) é um vetor que está no nosso plano.

Passo 3

Agora, precisamos considerar que o plano que queremos é perpendicular ao plano pi. Para que dois planos sejam perpendiculares, os seus vetores normais devem ser perpendiculares entre si.
O vetor normal do plano pi é dado pelos coeficientes de x, y e z na equação do plano. Então, para pi: 3x - 7y + z - 4 = 0, temos:
npi = (3, -7, 1)
Esse é o vetor normal do plano pi.

Passo 4

Como queremos que o plano que estamos procurando seja perpendicular a pi, o vetor normal desse novo plano, que vamos chamar de n, deve ser perpendicular a npi. Ou seja, o produto escalar entre n e npi deve ser zero:
n cdot npi = 0
Além disso, n deve ser perpendicular ao vetor AB que já está no nosso plano, porque o vetor normal de um plano é perpendicular a todos os vetores que estão no plano.
Então, temos duas condições:
n cdot npi = 0 e n cdot AB = 0

Passo 5

Para encontrar o vetor normal n que satisfaz essas duas condições, podemos usar o produto vetorial entre AB e npi. O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor que é perpendicular a ambos.
Calculando:
n = AB times npi = i & j & k -3 & 1 & -4 3 & -7 & 1
n = i(1 cdot 1 - (-4) cdot (-7)) - j(-3 cdot 1 - (-4) cdot 3) + k(-3 cdot (-7) - 1 cdot 3)
n = i(1 - 28) - j(-3 + 12) + k(21 - 3)
n = i(-27) - j(9) + k(18)
Então, o vetor normal é:
n = (-27, -9, 18)
Podemos simplificar dividindo por -9 para facilitar:
n = (3, 1, -2)

Passo 6

Com o vetor normal n = (3, 1, -2) e sabendo que o plano passa pelo ponto A(1, -2, 3), podemos usar a equação cartesiana do plano:
3(x - 1) + 1(y + 2) - 2(z - 3) = 0
Vamos simplificar:
3x - 3 + y + 2 - 2z + 6 = 0
3x + y - 2z + 5 = 0

Resposta

A equação do plano procurado é:
3x + y - 2z + 5 = 0

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