Encontre a equação do plano que: contém e é perpendicular ao plano
Passo 1
Então, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação de um plano que contém os pontos A(1, -2, 3) e B(-2, -1, -1). Além disso, esse plano tem que ser perpendicular ao plano dado pela equação . Vamos usar conceitos de geometria espacial, como vetores e vetores normais, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar um vetor diretor no plano que queremos encontrar. Como o plano contém os pontos A e B, podemos tirar um vetor que vai de A até B. Para isso, subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B:
Então, o vetor é um vetor que está no nosso plano.
Passo 3
Agora, precisamos considerar que o plano que queremos é perpendicular ao plano . Para que dois planos sejam perpendiculares, os seus vetores normais devem ser perpendiculares entre si.
O vetor normal do plano é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano. Então, para , temos:
Esse é o vetor normal do plano .
Passo 4
Como queremos que o plano que estamos procurando seja perpendicular a , o vetor normal desse novo plano, que vamos chamar de , deve ser perpendicular a . Ou seja, o produto escalar entre e deve ser zero:
Além disso, deve ser perpendicular ao vetor que já está no nosso plano, porque o vetor normal de um plano é perpendicular a todos os vetores que estão no plano.
Então, temos duas condições:
Passo 5
Para encontrar o vetor normal que satisfaz essas duas condições, podemos usar o produto vetorial entre e . O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor que é perpendicular a ambos.