Determine as equações paramétricas do plano que passa pelo ponto e que contém a reta
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar as equações paramétricas de um plano que passa pelo ponto e que contém uma reta específica. Basicamente, estamos trabalhando com Geometria Analítica aqui. Para resolver isso, vamos precisar entender como descrever um plano usando um ponto e dois vetores que estão nesse plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a reta que está no plano. A reta é dada por:
Essa é uma forma de equação paramétrica da reta, onde o numerador representa o deslocamento a partir de um ponto inicial, e o denominador é o vetor diretor da reta. Então, o vetor diretor da reta é:
E um ponto qualquer na reta (vamos chamar de ) é .
Passo 3
Agora, temos que o plano passa pelo ponto AP = P - A = 1 - 2 2 - 1 4 - 3 = -1 1 1 e contém a reta que passa por com vetor diretor . Para achar as equações paramétricas do plano, precisamos de dois vetores que estão no plano.
Já temos , então vamos encontrar outro vetor que está no plano. Podemos fazer isso pegando a diferença entre os pontos e :
Então, também está no plano.
Passo 4
Com esses dois vetores x = 2 + 2s - t y = 1 + 3s + t z = 3 + 5s + t e que estão no plano, podemos escrever as equações paramétricas do plano. A ideia é que qualquer ponto no plano pode ser alcançado a partir do ponto somando combinações lineares desses vetores.