Determine as equações paramétricas do plano que passa pelo ponto (2,1,3) e que contém a reta
z-12=y-23=z-45

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar as equações paramétricas de um plano que passa pelo ponto e que contém uma reta específica. Basicamente, estamos trabalhando com Geometria Analítica aqui. Para resolver isso, vamos precisar entender como descrever um plano usando um ponto e dois vetores que estão nesse plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reta que está no plano. A reta é dada por:
x-12 = y-23 = z-45
Essa é uma forma de equação paramétrica da reta, onde o numerador representa o deslocamento a partir de um ponto inicial, e o denominador é o vetor diretor da reta. Então, o vetor diretor d = 2 3 5 da reta é:
E um ponto qualquer na reta (vamos chamar de ) é .

Passo 3

Agora, temos que o plano passa pelo ponto AP = P - A = 1 - 2 2 - 1 4 - 3 = -1 1 1 e contém a reta que passa por com vetor diretor . Para achar as equações paramétricas do plano, precisamos de dois vetores que estão no plano.
Já temos , então vamos encontrar outro vetor que está no plano. Podemos fazer isso pegando a diferença entre os pontos e :
Então, também está no plano.

Passo 4

Com esses dois vetores x = 2 + 2s - t y = 1 + 3s + t z = 3 + 5s + t e que estão no plano, podemos escrever as equações paramétricas do plano. A ideia é que qualquer ponto no plano pode ser alcançado a partir do ponto somando combinações lineares desses vetores.
Então, as equações paramétricas ficam assim:
Aqui, e são os parâmetros que variam livremente.

Resposta

As equações paramétricas do plano são:
x = 2 + 2s - t y = 1 + 3s + t z = 3 + 5s + t
onde e são números reais.

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