Determine uma equação geral do plano , que contenha as rectas: e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano que contenha duas retas dadas: e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional. Vamos precisar identificar vetores diretores das retas e encontrar um vetor normal ao plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas e . A reta é dada por:
Podemos parametrizar essa reta usando um parâmetro :
Então, o vetor diretor de é .
A reta é dada por:
Aqui, o vetor diretor é .

Passo 3

Agora, para encontrar o vetor normal ao plano , vamos usar o produto vetorial dos vetores diretores das retas, já que o vetor normal é perpendicular a ambos. Calculando o produto vetorial :
Ops! O resultado foi o vetor nulo, o que indica que os vetores e são paralelos. Isso significa que as retas e são paralelas ou coincidentes. Para encontrar o plano, precisamos de um ponto de cada reta.

Passo 4

Vamos pegar um ponto de cada reta. Para , quando , temos o ponto . Para , quando , temos o ponto . Agora, vamos formar o vetor que vai de a :
Agora, vamos usar e para encontrar o vetor normal ao plano através do produto vetorial:

Passo 5

Com o vetor normal e o ponto , podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Podemos dividir todos os termos por 1 para simplificar:

Resposta

A equação geral do plano é:

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a)
b)
c)
d)
e)
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Encontrar, a partir da equação dada do plano , suas intersecções sobre os eixos, em cada uma das alíneas. Construir a figura. d)