Determine uma equação geral do plano , que contenha as rectas: e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano que contenha duas retas dadas: e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional. Vamos precisar identificar vetores diretores das retas e encontrar um vetor normal ao plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas e . A reta é dada por:
Podemos parametrizar essa reta usando um parâmetro :
Então, o vetor diretor de é .
A reta é dada por:
Aqui, o vetor diretor é .
Passo 3
Agora, para encontrar o vetor normal ao plano , vamos usar o produto vetorial dos vetores diretores das retas, já que o vetor normal é perpendicular a ambos. Calculando o produto vetorial :
Ops! O resultado foi o vetor nulo, o que indica que os vetores e são paralelos. Isso significa que as retas e são paralelas ou coincidentes. Para encontrar o plano, precisamos de um ponto de cada reta.
Passo 4
Vamos pegar um ponto de cada reta. Para , quando , temos o ponto . Para , quando , temos o ponto . Agora, vamos formar o vetor que vai de a :
Agora, vamos usar e para encontrar o vetor normal ao plano através do produto vetorial:
Passo 5
Com o vetor normal e o ponto , podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Podemos dividir todos os termos por 1 para simplificar: