Determine uma equação geral do plano , que contenha as rectas: e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano pi que contenha duas retas dadas: m1 e m2. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional. Vamos precisar identificar vetores diretores das retas e encontrar um vetor normal ao plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas m1 e m2. A reta m1 é dada por:
y = x + 1 z = -3x - 2
Podemos parametrizar essa reta usando um parâmetro s:
x = s, y = s + 1, z = -3s - 2
Então, o vetor diretor de m1 é d1 = 1 1 -3 .
A reta m2 é dada por:
x = 2t y = 2t + 3 z = -6t + 1
Aqui, o vetor diretor é d2 = 2 2 -6 .
Passo 3
Agora, para encontrar o vetor normal ao plano pi, vamos usar o produto vetorial dos vetores diretores das retas, já que o vetor normal é perpendicular a ambos. Calculando o produto vetorial n = d1 times d2:
Ops! O resultado foi o vetor nulo, o que indica que os vetores d1 e d2 são paralelos. Isso significa que as retas m1 e m2 são paralelas ou coincidentes. Para encontrar o plano, precisamos de um ponto de cada reta.
Passo 4
Vamos pegar um ponto de cada reta. Para m1, quando s = 0, temos o ponto P(0, 1, -2). Para m2, quando t = 0, temos o ponto Q(0, 3, 1). Agora, vamos formar o vetor que vai de P a Q:
PQ = 0 - 0 3 - 1 1 - (-2) = 0 2 3
Agora, vamos usar d1 e para encontrar o vetor normal ao plano PQ através do produto vetorial:
pi
Passo 5
Com o vetor normal n = 9 -3 2 e o ponto P(0, 1, -2), podemos escrever a equação geral do plano pi usando a fórmula:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Substituindo os valores:
9(x - 0) - 3(y - 1) + 2(z + 2) = 0
Simplificando:
9x - 3y + 3 + 2z + 4 = 0 9x - 3y + 2z + 7 = 0
Podemos dividir todos os termos por 1 para simplificar: