Um plano passa pelo ponto e os cossenos directores da sua são . Determinar a equação deste plano.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos diz que temos um plano que passa pelo ponto e que os cossenos diretores do plano são , e . Nosso objetivo é encontrar a equação desse plano. Para isso, vamos precisar entender conceitos de geometria espacial, especificamente sobre planos e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação de um plano pode ser escrita usando um vetor normal ao plano. Os cossenos diretores que nos foram dados correspondem justamente às direções desse vetor normal. Ou seja, se os cossenos diretores são , e , então o vetor normal ao plano é .
Passo 3
Agora, para facilitar os cálculos, podemos multiplicar esse vetor normal por 13, que é o denominador comum, para obter um vetor com componentes inteiras. Assim, teremos:
Esse vetor ainda é normal ao plano, e facilita na hora de montar a equação do plano.
Passo 4
A equação geral de um plano é dada por:
onde são as componentes do vetor normal ao plano, e é um ponto que pertence ao plano. No nosso caso, o ponto dado é e o vetor normal é .
Passo 5
Substituindo os valores na equação do plano, temos:
Simplificando os termos dentro dos parênteses:
Passo 6
Vamos distribuir os coeficientes:
Agora, vamos somar os termos constantes:
Passo 7
Para deixar a equação mais arrumada, podemos escrever assim: