Determine a equação geral do plano que
d) contém as retas e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano que contém duas retas dadas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, como vetores direcionais e produto vetorial. Vamos precisar identificar os vetores que direcionam cada reta e depois encontrar um vetor normal ao plano usando o produto vetorial desses vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores direcionais das retas e .
Para a reta , o vetor direcional é .
Para a reta , o vetor direcional é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar um vetor normal ao plano . Esse vetor normal é perpendicular tanto ao vetor quanto ao vetor . Para isso, usamos o produto vetorial entre e .
O produto vetorial é dado por:
Calculando:
n = i(0 + 3) - j(0 - 3) + k(-1 - 2)
n = (3, 3, -3)
Podemos simplificar dividindo por 3:
n = (1, 1, -1)
Passo 4
Com o vetor normal n = (1, 1, -1) e um ponto que pertence ao plano (por exemplo, o ponto (1, -1, 2) onde as duas retas se intersectam), podemos escrever a equação geral do plano.
A equação geral de um plano é:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Onde (A, B, C) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) é o ponto conhecido.