Determine a equação geral do plano pi que
d) contém as retas r1:(x, y, z)=(1,-1,2)+lambda(1,2,3) e r2:(x, y, z)= (1,-1,2)+lambda(1,-1,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano pi que contém duas retas dadas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, como vetores direcionais e produto vetorial. Vamos precisar identificar os vetores que direcionam cada reta e depois encontrar um vetor normal ao plano usando o produto vetorial desses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores direcionais das retas r1 e r2.
Para a reta r1: (x, y, z) = (1, -1, 2) + lambda(1, 2, 3), o vetor direcional é v1 = (1, 2, 3).
Para a reta r2: (x, y, z) = (1, -1, 2) + lambda(1, -1, 0), o vetor direcional é v2 = (1, -1, 0).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um vetor normal ao plano pi. Esse vetor normal é perpendicular tanto ao vetor v1 quanto ao vetor v2. Para isso, usamos o produto vetorial entre v1 e v2.
O produto vetorial é dado por:
n = v1 times v2
Calculando:
n = i & j & k 1 & 2 & 3 1 & -1 & 0 = i(2 cdot 0 - 3 cdot (-1)) - j(1 cdot 0 - 3 cdot 1) + k(1 cdot (-1) - 2 cdot 1)
n = i(0 + 3) - j(0 - 3) + k(-1 - 2)
n = (3, 3, -3)
Podemos simplificar dividindo por 3:
n = (1, 1, -1)

Passo 4

Com o vetor normal n = (1, 1, -1) e um ponto que pertence ao plano (por exemplo, o ponto (1, -1, 2) onde as duas retas se intersectam), podemos escrever a equação geral do plano.
A equação geral de um plano é:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Onde (A, B, C) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) é o ponto conhecido.
Substituindo:
1(x - 1) + 1(y + 1) -1(z - 2) = 0
x - 1 + y + 1 - z + 2 = 0
x + y - z + 2 = 0

Resposta

A equação geral do plano pi é:
x + y - z + 2 = 0

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