Determine uma equação vetorial para o plano pi que
c) Contém as retas r1: x-12=y-23=z4 e r2: x2=y+13=z-34

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício de Geometria Analítica. A questão pede para a gente encontrar uma equação vetorial para um plano que contém duas retas dadas: e . Para isso, vamos precisar saber como construir a equação de um plano a partir de pontos e vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um ponto em cada reta. Nas equações das retas, esses pontos são obtidos quando o parâmetro é zero.
Para a reta x-12 = 0 Rightarrow x = 1 y-23 = 0 Rightarrow y = 2 z4 = 0 Rightarrow z = 0 :
x2 = 0 Rightarrow x = 0 y+13 = 0 Rightarrow y = -1 z-34 = 0 Rightarrow z = 3
Então, temos o ponto .
Para a reta :
Assim, o ponto .

Passo 3

Agora, vamos identificar os vetores diretores das retas. Esses vetores vêm dos denominadores das frações nas equações das retas.
Para ambas as retas e , o vetor diretor é .
Como as duas retas têm o mesmo vetor diretor, elas são paralelas. Para definir o plano, precisamos de dois vetores não colineares que estejam no plano.

Passo 4

Vamos criar um vetor que liga os pontos PQ = Q - P = (0 - 1, -1 - 2, 3 - 0) = (-1, -3, 3) e d = (2, 3, 4) e PQ = (-1, -3, 3) . Esse vetor será:
Agora, temos dois vetores no plano:
Esses vetores são independentes, ou seja, não são múltiplos um do outro, garantindo que eles definem o plano.

Passo 5

Com o ponto r = P + sd + tPQ e os vetores e , podemos escrever a equação vetorial do plano:
Isso significa que qualquer ponto no plano pode ser alcançado a partir de somando múltiplos dos vetores e , onde e são escalares.

Resposta

A equação vetorial do plano r = 1 2 0 + s 2 3 4 + t -1 -3 3 , s, t in R que contém as retas dadas é:

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Determine a equação geral do plano pi que
d) contém as retas r1:(x, y, z)=(1,-1,2)+lambda(1,2,3) e r2:(x, y, z)= (1,-1,2)+lambda(1,-1,0)
Decida se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira ou falsa.
g) |5 u|=|-5 u|=5|u|.
Determine a equação geral do plano pi que
a) tem vetor normal n=(0,-1,2) e contém o ponto A=(0,0,0).
Determine uma equação vetorial para o plano pi que
a) Contém os pontos A=(-1,2,4), B=(0,0,1) e C=(3,2,-1).