Determine uma equação vetorial para o plano
que
c) Contém as retas
e
c) Contém as retas
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício de Geometria Analítica. A questão pede para a gente encontrar uma equação vetorial para um plano que contém duas retas dadas:
e
. Para isso, vamos precisar saber como construir a equação de um plano a partir de pontos e vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar um ponto em cada reta. Nas equações das retas, esses pontos são obtidos quando o parâmetro é zero.
Para a reta
:
Então, temos o ponto
.
Para a reta
:
Assim, o ponto
.
Passo 3
Agora, vamos identificar os vetores diretores das retas. Esses vetores vêm dos denominadores das frações nas equações das retas.
Para ambas as retas
e
, o vetor diretor é
.
Como as duas retas têm o mesmo vetor diretor, elas são paralelas. Para definir o plano, precisamos de dois vetores não colineares que estejam no plano.
Passo 4
Vamos criar um vetor que liga os pontos
e
. Esse vetor será:
Agora, temos dois vetores no plano:
Esses vetores são independentes, ou seja, não são múltiplos um do outro, garantindo que eles definem o plano.
Passo 5
Com o ponto
e os vetores
e
, podemos escrever a equação vetorial do plano:
Isso significa que qualquer ponto
no plano pode ser alcançado a partir de
somando múltiplos dos vetores
e
, onde
e
são escalares.
Resposta
A equação vetorial do plano
que contém as retas dadas é: