Determine uma equação vetorial para o plano que
c) Contém as retas e
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício de Geometria Analítica. A questão pede para a gente encontrar uma equação vetorial para um plano que contém duas retas dadas: e . Para isso, vamos precisar saber como construir a equação de um plano a partir de pontos e vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar um ponto em cada reta. Nas equações das retas, esses pontos são obtidos quando o parâmetro é zero.
Para a reta :
Então, temos o ponto .
Para a reta :
Assim, o ponto .
Passo 3
Agora, vamos identificar os vetores diretores das retas. Esses vetores vêm dos denominadores das frações nas equações das retas.
Para ambas as retas e , o vetor diretor é .
Como as duas retas têm o mesmo vetor diretor, elas são paralelas. Para definir o plano, precisamos de dois vetores não colineares que estejam no plano.
Passo 4
Vamos criar um vetor que liga os pontos e . Esse vetor será:
Agora, temos dois vetores no plano:
Esses vetores são independentes, ou seja, não são múltiplos um do outro, garantindo que eles definem o plano.
Passo 5
Com o ponto e os vetores e , podemos escrever a equação vetorial do plano:
Isso significa que qualquer ponto no plano pode ser alcançado a partir de somando múltiplos dos vetores e , onde e são escalares.
Resposta
A equação vetorial do plano que contém as retas dadas é: