Usando as propriedades de soma de vetores e multiplicação por escalar, resolva as seguintes equações nas incógnitas x, y e z em função de u, v e w.
b) lx+y+z=u x-z=v 3 x-2 y=w

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são três equações envolvendo vetores x, y e z. Nosso objetivo é descobrir o que são x, y e z em função de outros vetores conhecidos: u, v e w. Para resolver isso, vamos usar as propriedades da soma de vetores e da multiplicação por escalar. Basicamente, vamos tratar essas equações como se fossem equações comuns, mas trabalhando com vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações para facilitar:
x + y + z = u (1) x - z = v (2) 3x - 2y = w (3)
Aqui, cada equação mostra como os vetores se relacionam entre si. Nosso plano é isolar uma das variáveis e substituir nas outras equações.

Passo 3

Vamos começar pela equação (2), que parece mais simples para isolar uma variável. Queremos expressar x em termos de v e z.
Da equação (2):
x = v + z
Agora, sabemos que x é igual a v mais z. Vamos usar essa expressão para substituir x nas outras equações.

Passo 4

Vamos substituir x = v + z na equação (1):
(v + z) + y + z = u
Vamos simplificar essa expressão combinando os termos semelhantes:
v + y + 2z = u
Agora, podemos isolar y:
y = u - v - 2z (4)

Passo 5

Agora, temos expressões para x e y em termos de z. Vamos usar essas expressões na equação (3) para encontrar z.
Substituindo x = v + z e y = u - v - 2z na equação (3):
3(v + z) - 2(u - v - 2z) = w
Vamos distribuir os coeficientes:
3v + 3z - 2u + 2v + 4z = w
Combinando os termos semelhantes:
(3v + 2v) + (3z + 4z) - 2u = w
5v + 7z - 2u = w

Passo 6

Agora, queremos isolar z. Vamos rearranjar a equação:
7z = w + 2u - 5v
Dividindo ambos os lados por 7:
z = 17w + 27u - 57v

Passo 7

Agora que temos z, podemos voltar às equações (2) e (4) para encontrar x e y.
Primeiro, para x:
x = v + z = v + ( 17w + 27u - 57v )
Simplificando:
x = 27u + 17w + (1 - 57)v = 27u + 17w + 27v
Ou seja:
x = 27u + 27v + 17w

Passo 8

Agora, para y, usando a equação (4):
y = u - v - 2z
Substituindo z:
y = u - v - 2( 17w + 27u - 57v )
Distribuindo o -2:
y = u - v - 27w - 47u + 107v
Combinando os termos semelhantes:
(1 - 47)u + (-1 + 107)v - 27w
37u + 37v - 27w

Resposta

As soluç��es das incógnitas em função de u, v e w são:
x = 27u + 27v + 17w
y = 37u + 37v - 27w
z = 27u - 57v + 17w

Exercícios relacionados

Sendo V=R^3 e dado um conjunto de elementos de V, beta=(1,1,-1) ;(0,1,1) ;(1,0,-2).
Verifique se v5=(1,1,1) in W. Caso afirmativo escreva v5 como uma combinação linear da base de W.
Sendo $V=R^{3}$ e dado um conjunto de elementos de $V, \beta=\{(1,1,-1) ;(0,1,1) ;(1,0,-2)\}$. Verifique se $v_{4}=(3,4,-2) \in W$. Caso afirmativo escreva $v_{4}$ como uma combinação linear da base de $W$.
Decida se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira ou falsa.
g) |5 u|=|-5 u|=5|u|.
Determine a equação geral do plano pi que
d) contém as retas r1:(x, y, z)=(1,-1,2)+lambda(1,2,3) e r2:(x, y, z)= (1,-1,2)+lambda(1,-1,0)