Usando as propriedades de soma de vetores e multiplicação por escalar, resolva as seguintes equações nas incógnitas e em função de e .
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são três equações envolvendo vetores x, y e z. Nosso objetivo é descobrir o que são x, y e z em função de outros vetores conhecidos: u, v e w. Para resolver isso, vamos usar as propriedades da soma de vetores e da multiplicação por escalar. Basicamente, vamos tratar essas equações como se fossem equações comuns, mas trabalhando com vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações para facilitar:
x + y + z = u (1) x - z = v (2) 3x - 2y = w (3)
Aqui, cada equação mostra como os vetores se relacionam entre si. Nosso plano é isolar uma das variáveis e substituir nas outras equações.
Passo 3
Vamos começar pela equação (2), que parece mais simples para isolar uma variável. Queremos expressar x em termos de v e z.
Da equação (2):
x = v + z
Agora, sabemos que x é igual a v mais z. Vamos usar essa expressão para substituir x nas outras equações.
Passo 4
Vamos substituir x = v + z na equação (1):
(v + z) + y + z = u
Vamos simplificar essa expressão combinando os termos semelhantes:
v + y + 2z = u
Agora, podemos isolar y:
y = u - v - 2z (4)
Passo 5
Agora, temos expressões para x e y em termos de z. Vamos usar essas expressões na equação (3) para encontrar z.
Substituindo x = v + z e y = u - v - 2z na equação (3):
3(v + z) - 2(u - v - 2z) = w
Vamos distribuir os coeficientes:
3v + 3z - 2u + 2v + 4z = w
Combinando os termos semelhantes:
(3v + 2v) + (3z + 4z) - 2u = w
5v + 7z - 2u = w
Passo 6
Agora, queremos isolar z. Vamos rearranjar a equação:
7z = w + 2u - 5v
Dividindo ambos os lados por 7:
z = 17w + 27u - 57v
Passo 7
Agora que temos z, podemos voltar às equações (2) e (4) para encontrar x e y.
Primeiro, para x:
x = v + z = v + ( 17w + 27u - 57v )
Simplificando:
x = 27u + 17w + (1 - 57)v = 27u + 17w + 27v
Ou seja:
x = 27u + 27v + 17w
Passo 8
Agora, para y, usando a equação (4):
y = u - v - 2z
Substituindo z:
y = u - v - 2( 17w + 27u - 57v )
Distribuindo o -2:
y = u - v - 27w - 47u + 107v
Combinando os termos semelhantes:
(1 - 47)u + (-1 + 107)v - 27w
37u + 37v - 27w
Resposta
As soluç��es das incógnitas em função de u, v e w são: