Determine a equação geral do plano pi que
a) tem vetor normal n=(0,-1,2) e contém o ponto A=(0,0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral de um plano que tem como vetor normal n = (0, -1, 2) e que passa pelo ponto A = (0, 0, 0). Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre como determinar a equação de um plano quando conhecemos um vetor normal e um ponto que pertence a ele.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação geral de um plano. Se a gente tem um vetor normal n = (A, B, C) e um ponto P0 = (x0, y0, z0) que está no plano, a equação do plano pode ser escrita assim:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Isso significa que qualquer ponto (x, y, z) que estiver no plano satisfaz essa equação.

Passo 3

No nosso caso, o vetor normal n = (0, -1, 2) nos dá os valores de A, B e C:
  • A = 0
  • B = -1
  • C = 2
E o ponto que está no plano é A = (0, 0, 0), então:
  • x0 = 0
  • y0 = 0
  • z0 = 0

Passo 4

Vamos substituir esses valores na fórmula da equação do plano:
0(x - 0) + (-1)(y - 0) + 2(z - 0) = 0
Simplificando isso:
0 cdot x - 1 cdot y + 2 cdot z = 0
Ou seja:
- y + 2z = 0

Passo 5

Finalmente, podemos deixar a equação de uma forma mais comum, isolando um dos termos se preferir. Por exemplo, podemos escrever:
y = 2z
Mas a forma geral que descrevemos antes também está totalmente correta e é frequentemente usada.

Resposta

A equação geral do plano é -y + 2z = 0.

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