Sendo V=P2 e dado um conjunto de elementos de V, 1+x-x^2 ; 1+x+x^2 ; 1-2 x^2.
Verifique se o conjunto é L.I. ou L.D.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um conjunto de polinômios no espaço 1 + x - x^2, 1 + x + x^2, 1 - 2x^2 , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. Os polinômios são:
Nosso objetivo é descobrir se esse conjunto de polinômios é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.). Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre combinação linear e como testar a independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores (ou polinômios, no caso) é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor nulo é aquela onde todos os coeficientes são zero. Caso contrário, se existir uma combinação não trivial (com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que resulta no vetor nulo, o conjunto é linearmente dependente.

Passo 3

Vamos montar uma equação onde uma combinação linear dos nossos polinômios é igual ao polinômio nulo:
c1(1 + x - x^2) + c2(1 + x + x^2) + c3(1 - 2x^2) = 0
Nosso objetivo é encontrar os valores de e . Se a única solução for , então o conjunto é L.I. Caso contrário, é L.D.

Passo 4

Vamos distribuir os coeficientes dentro dos parênteses:
c1 cdot 1 + c1 cdot x - c1 cdot x^2 + c2 cdot 1 + c2 cdot x + c2 cdot x^2 + c3 cdot 1 - 2c3 cdot x^2 = 0
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes (constante, (c1 + c2 + c3) + (c1 + c2)x + (-c1 + c2 - 2c3)x^2 = 0 e ):

Passo 5

Para que a equação seja igual a zero para todo c1 + c2 + c3 = 0 c1 + c2 = 0 -c1 + c2 - 2c3 = 0 , os coeficientes de cada termo devem ser iguais a zero. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da segunda equação:
c1 + c2 = 0 Rightarrow c2 = -c1
Substituindo c1 + (-c1) + c3 = 0 Rightarrow c3 = 0 na primeira equação:
- c1 + (-c1) - 0 = 0 Rightarrow -2c1 = 0 Rightarrow c1 = 0
Agora, substituindo e na terceira equação:
Então, se , da segunda equação, também.

Resposta

Como a única solução é , o conjunto de polinômios é linearmente independente (L.I.).

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Determine uma equação vetorial para o plano pi que
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