Sendo e dado um conjunto de elementos de , .
Verifique se o conjunto é L.I. ou L.D.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá um conjunto de polinômios no espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. Os polinômios são:
Nosso objetivo é descobrir se esse conjunto de polinômios é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.). Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre combinação linear e como testar a independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores (ou polinômios, no caso) é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor nulo é aquela onde todos os coeficientes são zero. Caso contrário, se existir uma combinação não trivial (com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que resulta no vetor nulo, o conjunto é linearmente dependente.
Passo 3
Vamos montar uma equação onde uma combinação linear dos nossos polinômios é igual ao polinômio nulo:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e . Se a única solução for , então o conjunto é L.I. Caso contrário, é L.D.
Passo 4
Vamos distribuir os coeficientes dentro dos parênteses:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes (constante, e ):
Passo 5
Para que a equação seja igual a zero para todo , os coeficientes de cada termo devem ser iguais a zero. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da segunda equação:
c1 + c2 = 0 Rightarrow c2 = -c1
Substituindo c1 + (-c1) + c3 = 0 Rightarrow c3 = 0 na primeira equação: