Determine uma equação vetorial para o plano pi que
a) Contém os pontos A=(-1,2,4), B=(0,0,1) e C=(3,2,-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar uma equação vetorial para o plano que passa pelos pontos , e . Isso envolve trabalhar com vetores e planos no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar encontrar dois vetores que estão no plano e usar um ponto para montar a equação vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar dois vetores que estão no plano . Podemos fazer isso criando vetores a partir dos pontos dados. Por exemplo, podemos criar o vetor que vai de até , e o vetor que vai de até .

Passo 3

Vamos calcular o vetor AB = B - A = (0 - (-1), 0 - 2, 1 - 4) = (1, -2, -3) . Subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :

Passo 4

Agora, vamos calcular o vetor AC = C - A = (3 - (-1), 2 - 2, -1 - 4) = (4, 0, -5) da mesma forma:

Passo 5

Com os vetores r = AO + sAB + tAC e em mãos, podemos usar a ideia de que qualquer ponto no plano pode ser descrito como:
Aqui, é um vetor posição de um ponto no plano (vamos usar o ponto ), e e são parâmetros escalares.

Passo 6

Substituindo os valores que já temos:
r = (-1, 2, 4) + s(1, -2, -3) + t(4, 0, -5)
Essa é a equação vetorial do plano .

Resposta

A equação vetorial do plano r = (-1, 2, 4) + s, (1, -2, -3) + t, (4, 0, -5) é:
Onde e são números reais.

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