Mostre que: S=(x, y) in R^2 mid x+3 y=2 não é subespaço de R^2.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos o conjunto e precisamos mostrar que esse conjunto não é um subespaço de .
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais.
O que vamos precisar: Saber quais são as propriedades que um subespaço deve satisfazer para ser considerado como tal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as condições para que um conjunto seja um subespaço de um espaço vetorial como . Um subconjunto de é um subespaço se:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar em .
  2. Fechado para adição: Se e estão em , então também deve estar em .
  3. Fechado para multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também está em .
Se alguma dessas propriedades não for satisfeita, não é um subespaço.

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: se o vetor zero está em 0 + 3(0) = 0 neq 2 .
Para isso, substituímos e na equação da reta:
Como , o vetor não está em .

Passo 4

Já que o conjunto não contém o vetor zero, ele não satisfaz uma das condições necessárias para ser um subespaço.
Mesmo que verificássemos as outras propriedades, a ausência do vetor zero já nos permite concluir que não é um subespaço de .

Resposta

Portanto, o conjunto não é um subespaço de porque não contém o vetor zero.

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