Mostre que: W=(x, y, z, t) in R^4 mid x+t=0 e z-t=0, é subespaço de R^4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que o conjunto é um subespaço de . A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente o conceito de subespaço vetorial. Para provar que é um subespaço, vamos precisar verificar se ele satisfaz três propriedades fundamentais: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser um subespaço vetorial. Em Álgebra Linear, um subespaço de um espaço vetorial é um conjunto que é ele próprio um espaço vetorial. Isso significa que ele deve conter o vetor zero, e se você pegar dois vetores quaisquer desse conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto. Além disso, se você multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número real, o resultado também deve estar no conjunto.

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade: o vetor zero está em . O vetor zero em é . Vamos substituir esses valores nas equações que definem :
  1. ✔️
  2. ✔️
Como ambas as equações são verdadeiras, o vetor zero está em .

Passo 4

Agora, vamos conferir a segunda propriedade: fechamento sob adição. Ou seja, se temos dois vetores e em , então a soma também deve estar em .
Como e estão em , sabemos que:
  • e
  • e
Vamos verificar se satisfaz as equações de :
  1. ✔️
  2. ✔️
Assim, também está em .

Passo 5

Por último, vamos verificar a terceira propriedade: fechamento sob multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos um vetor em e multiplicarmos por um número real , o vetor também deve estar em .
Como está em , sabemos que:
  • e
Vamos verificar se satisfaz as equações de :
  1. ✔️
  2. ✔️
Portanto, também está em .

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que é de fato um subespaço de .

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