Mostre que:
e
, é subespaço de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que o conjunto
é um subespaço de
. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente o conceito de subespaço vetorial. Para provar que
é um subespaço, vamos precisar verificar se ele satisfaz três propriedades fundamentais: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser um subespaço vetorial. Em Álgebra Linear, um subespaço de um espaço vetorial
é um conjunto que é ele próprio um espaço vetorial. Isso significa que ele deve conter o vetor zero, e se você pegar dois vetores quaisquer desse conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto. Além disso, se você multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade: o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Vamos substituir esses valores nas equações que definem
:
-
✔️ -
✔️
Como ambas as equações são verdadeiras, o vetor zero está em
.
Passo 4
Agora, vamos conferir a segunda propriedade: fechamento sob adição. Ou seja, se temos dois vetores
e
em
, então a soma
também deve estar em
.
Como
e
estão em
, sabemos que:
-
e -
e
Vamos verificar se
satisfaz as equações de
:
-
✔️ -
✔️
Assim,
também está em
.
Passo 5
Por último, vamos verificar a terceira propriedade: fechamento sob multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos um vetor
em
e multiplicarmos por um número real
, o vetor
também deve estar em
.
Como
está em
, sabemos que:
-
e
Vamos verificar se
satisfaz as equações de
:
-
✔️ -
✔️
Portanto,
também está em
.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que
é de fato um subespaço de
.