Estude a posição relativa entre as seguintes retas. Caso sejam concorrentes, determine o ponto de interseção. Caso não sejam concorrentes ou coincidentes, calcule a distância. e .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional e precisamos descobrir como elas estão posicionadas uma em relação à outra. O conteúdo que vamos usar envolve geometria analítica, especificamente o estudo de retas no espaço. Para resolver isso, vamos precisar das equações das retas e aplicar conceitos de interseção e distância entre retas.
Passo 2
Vamos começar escrevendo as equações das duas retas de forma mais clara. A reta está na forma simétrica:
Isso significa que podemos representar parametrizando com um parâmetro :
A reta já está escrita de forma paramétrica:
Aqui, é o parâmetro.
Passo 3
Para verificar se as retas são concorrentes, ou seja, se elas se interceptam em algum ponto, precisamos encontrar valores de e que satisfaçam ambas as equações simultaneamente:
Nosso objetivo é resolver esse sistema de equações para ver se existe uma solução comum para e .
Passo 4
Vamos resolver as equações (1) e (2) para encontrar e . Da equação (2):
Substituindo na equação (1):
Simplificando:
Agora que temos , podemos encontrar usando .
Passo 5
Agora, verificamos se esses valores satisfazem a terceira equação (3):
Calculando ambos os lados:
Isso não é verdade, então não há solução comum que satisfaça todas as três equações. Portanto, as retas não se interceptam.
Passo 6
Como as retas não são concorrentes nem coincidentes, vamos calcular a distância entre elas. A fórmula para a distância entre duas retas e é:
Onde:
e são pontos quaisquer das retas e ,
e são os vetores diretores das retas,
representa o produto vetorial,
representa o produto escalar.
Passo 7
Vamos identificar os componentes necessários:
Para a reta , o vetor diretor .
Para a reta , o vetor diretor .
Escolhemos pontos na reta quando : .
E na reta quando : .
Passo 8
Calculamos :
Agora, calculamos o produto vetorial :
Passo 9
Agora, calculamos o produto escalar :
O valor absoluto desse produto é .
Passo 10
Calculamos a norma do produto vetorial :
Agora, aplicamos na fórmula da distância:
Resposta
As retas e não são concorrentes. A distância entre elas é aproximadamente unidades.