Estude a posição relativa entre as seguintes retas. Caso sejam concorrentes, determine o ponto de interseção. Caso não sejam concorrentes ou coincidentes, calcule a distância. e .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional e precisamos descobrir como elas estão posicionadas uma em relação à outra. O conteúdo que vamos usar envolve geometria analítica, especificamente o estudo de retas no espaço. Para resolver isso, vamos precisar das equações das retas e aplicar conceitos de interseção e distância entre retas.
Passo 2
Vamos começar escrevendo as equações das duas retas de forma mais clara. A reta x + 22 = y3 = z - 54 está na forma simétrica:
x = 2lambda - 2, y = 3lambda, z = 4lambda + 5
Isso significa que podemos representar x = 5 + t y = 2 + t z = 7 - 2t parametrizando com um parâmetro :
A reta já está escrita de forma paramétrica:
Aqui, é o parâmetro.
Passo 3
Para verificar se as retas são concorrentes, ou seja, se elas se interceptam em algum ponto, precisamos encontrar valores de 2lambda - 2 = 5 + t (1) e 3lambda = 2 + t (2) que satisfaçam ambas as equações simultaneamente:
4lambda + 5 = 7 - 2t (3)
Nosso objetivo é resolver esse sistema de equações para ver se existe uma solução comum para e .
Passo 4
Vamos resolver as equações (1) e (2) para encontrar 3lambda = 2 + t Rightarrow t = 3lambda - 2 e 2lambda - 2 = 5 + (3lambda - 2) . Da equação (2):
Agora, verificamos se esses valores satisfazem a terceira equação (3):
4(-5) + 5 = 7 - 2(-17)
Calculando ambos os lados:
-20 + 5 = 7 + 34 Rightarrow -15 = 41
Isso não é verdade, então não há solução comum que satisfaça todas as três equações. Portanto, as retas não se interceptam.
Passo 6
Como as retas não são concorrentes nem coincidentes, vamos calcular a distância entre elas. A fórmula para a distância D = |(P2 - P1) cdot (d1 times d2)||d1 times d2| entre duas retas e é: