Estude a posição relativa entre as seguintes retas. Caso sejam concorrentes, determine o ponto de interseção. Caso não sejam concorrentes ou coincidentes, calcule a distância. r: x+22=y3=z-54 e s:llx & =5+t y & =2+t z & =7-2 t.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional e precisamos descobrir como elas estão posicionadas uma em relação à outra. O conteúdo que vamos usar envolve geometria analítica, especificamente o estudo de retas no espaço. Para resolver isso, vamos precisar das equações das retas e aplicar conceitos de interseção e distância entre retas.

Passo 2

Vamos começar escrevendo as equações das duas retas de forma mais clara. A reta x + 22 = y3 = z - 54 está na forma simétrica:
x = 2lambda - 2, y = 3lambda, z = 4lambda + 5
Isso significa que podemos representar x = 5 + t y = 2 + t z = 7 - 2t parametrizando com um parâmetro :
A reta já está escrita de forma paramétrica:
Aqui, é o parâmetro.

Passo 3

Para verificar se as retas são concorrentes, ou seja, se elas se interceptam em algum ponto, precisamos encontrar valores de 2lambda - 2 = 5 + t (1) e 3lambda = 2 + t (2) que satisfaçam ambas as equações simultaneamente:
4lambda + 5 = 7 - 2t (3)
Nosso objetivo é resolver esse sistema de equações para ver se existe uma solução comum para e .

Passo 4

Vamos resolver as equações (1) e (2) para encontrar 3lambda = 2 + t Rightarrow t = 3lambda - 2 e 2lambda - 2 = 5 + (3lambda - 2) . Da equação (2):
2lambda - 2 = 5 + 3lambda - 2 Rightarrow 2lambda - 2 = 3lambda + 3
Substituindo -2 - 3 = 3lambda - 2lambda Rightarrow -5 = lambda na equação (1):
Simplificando:
Agora que temos , podemos encontrar usando .

Passo 5

Agora, verificamos se esses valores satisfazem a terceira equação (3):
4(-5) + 5 = 7 - 2(-17)
Calculando ambos os lados:
-20 + 5 = 7 + 34 Rightarrow -15 = 41
Isso não é verdade, então não há solução comum que satisfaça todas as três equações. Portanto, as retas não se interceptam.

Passo 6

Como as retas não são concorrentes nem coincidentes, vamos calcular a distância entre elas. A fórmula para a distância D = |(P2 - P1) cdot (d1 times d2)||d1 times d2| entre duas retas e é:
Onde:
  • e são pontos quaisquer das retas e ,
  • e são os vetores diretores das retas,
  • representa o produto vetorial,
  • representa o produto escalar.

Passo 7

Vamos identificar os componentes necessários:
  • Para a reta , o vetor diretor .
  • Para a reta , o vetor diretor .
  • Escolhemos pontos na reta quando : .
  • E na reta quando : .

Passo 8

Calculamos P2 - P1 = (5 - (-2), 2 - 0, 7 - 5) = (7, 2, 2) :
d1 times d2 = i & j & k 2 & 3 & 4 1 & 1 & -2 = i(3 cdot (-2) - 4 cdot 1) - j(2 cdot (-2) - 4 cdot 1) + k(2 cdot 1 - 3 cdot 1)
Agora, calculamos o produto vetorial = i(-6 - 4) - j(-4 - 4) + k(2 - 3) = -10i + 8j - k = (-10, 8, -1) :

Passo 9

Agora, calculamos o produto escalar (7, 2, 2) cdot (-10, 8, -1) = 7 cdot (-10) + 2 cdot 8 + 2 cdot (-1) = -70 + 16 - 2 = -56 :
O valor absoluto desse produto é .

Passo 10

Calculamos a norma do produto vetorial |d1 times d2| = raiz(-10)^2 + 8^2 + (-1)^2 = raiz100 + 64 + 1 = raiz165 :
D = 56raiz165 approx 5612.845 approx 4.36
Agora, aplicamos na fórmula da distância:

Resposta

As retas e não são concorrentes. A distância entre elas é aproximadamente unidades.

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