Estude a posição relativa entre as seguintes retas. Caso sejam concorrentes, determine o ponto de interseção. Caso não sejam concorrentes ou coincidentes, calcule a distância. e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional e precisamos descobrir como elas estão posicionadas uma em relação à outra. O conteúdo que vamos usar envolve geometria analítica, especificamente o estudo de retas no espaço. Para resolver isso, vamos precisar das equações das retas e aplicar conceitos de interseção e distância entre retas.

Passo 2

Vamos começar escrevendo as equações das duas retas de forma mais clara. A reta está na forma simétrica:
Isso significa que podemos representar parametrizando com um parâmetro :
A reta já está escrita de forma paramétrica:
Aqui, é o parâmetro.

Passo 3

Para verificar se as retas são concorrentes, ou seja, se elas se interceptam em algum ponto, precisamos encontrar valores de e que satisfaçam ambas as equações simultaneamente:
Nosso objetivo é resolver esse sistema de equações para ver se existe uma solução comum para e .

Passo 4

Vamos resolver as equações (1) e (2) para encontrar e . Da equação (2):
Substituindo na equação (1):
Simplificando:
Agora que temos , podemos encontrar usando .

Passo 5

Agora, verificamos se esses valores satisfazem a terceira equação (3):
Calculando ambos os lados:
Isso não é verdade, então não há solução comum que satisfaça todas as três equações. Portanto, as retas não se interceptam.

Passo 6

Como as retas não são concorrentes nem coincidentes, vamos calcular a distância entre elas. A fórmula para a distância entre duas retas e é:
Onde:
  • e são pontos quaisquer das retas e ,
  • e são os vetores diretores das retas,
  • representa o produto vetorial,
  • representa o produto escalar.

Passo 7

Vamos identificar os componentes necessários:
  • Para a reta , o vetor diretor .
  • Para a reta , o vetor diretor .
  • Escolhemos pontos na reta quando : .
  • E na reta quando : .

Passo 8

Calculamos :
Agora, calculamos o produto vetorial :

Passo 9

Agora, calculamos o produto escalar :
O valor absoluto desse produto é .

Passo 10

Calculamos a norma do produto vetorial :
Agora, aplicamos na fórmula da distância:

Resposta

As retas e não são concorrentes. A distância entre elas é aproximadamente unidades.

Exercícios relacionados

Um animal de laboratório pode comer qualquer um de 3 tipos de alimentos a cada dia. As anotações do laboratório indicam que, se o animal escolhe um alimento num ensaio, ele escolherá o mesmo alimento no próximo ensaio com probabilidade de , e ele escolherá os outros alimentos nesse próximo ensaio com probabilidades iguais de .
(b) Se o animal escolhe o alimento de tipo 1 num ensaio inicial, qual a probabilidade de ele escolher o alimento 2 no segundo ensaio após o ensaio inicial?
Verifique se nos casos: e
Determine a equação geral do plano que satisfaz as seguintes propriedades. Escreva as equações paramétricas do plano .
Um animal de laboratório pode comer qualquer um de 3 tipos de alimentos a cada dia. As anotações do laboratório indicam que, se o animal escolhe um alimento num ensaio, ele escolherá o mesmo alimento no próximo ensaio com probabilidade de , e ele escolherá os outros alimentos nesse próximo ensaio com probabilidades iguais de .
(a) Qual a matriz de transição para essa situação?