Escreva as equações paramétricas do plano alpha nos casos a seguir.
b) alpha passa pelos pontos A(3,1,-1) e B(1,0,1) e é paralelo ao vetor C D, sendo C(1,2,1) e D(0,1,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas do plano . Sabemos que o plano passa pelos pontos e e é paralelo ao vetor , onde e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, especificamente sobre planos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que estão no plano AB = B - A = (1-3, 0-1, 1-(-1)) = (-2, -1, 2) . Sabemos que os pontos e estão no plano, então o vetor também está no plano. Calculando :

Passo 3

Também sabemos que o plano CD = D - C = (0-1, 1-2, 0-1) = (-1, -1, -1) é paralelo ao vetor . Vamos calcular :
Como esse vetor é paralelo ao plano, ele também pode ser usado como um dos vetores diretores do plano.

Passo 4

Agora, temos dois vetores que estão no plano : e . Com esses vetores e um ponto do plano, podemos escrever as equações paramétricas do plano.

Passo 5

Vamos usar o ponto x = 3 - 2s - t y = 1 - s - t z = -1 + 2s - t como ponto de referência. As equações paramétricas do plano serão:
Onde e são parâmetros que variam sobre os números reais.

Resposta

As equações paramétricas do plano x = 3 - 2s - t y = 1 - s - t z = -1 + 2s - t são:

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