Mostre que R munido da operação otimes tal que x otimes y=raiz[3]x^3+y^3 é um grupo abeliano.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que o conjunto dos números reais, , com a operação definida por forma um grupo abeliano. Para isso, precisamos lembrar dos conceitos de grupos e grupos abelianos na álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a operação está bem definida, ou seja, se ao aplicar para quaisquer , o resultado também está em . Como somar dois números reais e tirar a raiz cúbica de um número real também resulta em um número real, a operação está bem definida em .

Passo 3

Agora, vamos verificar a propriedade de fechamento. Isso significa que para quaisquer , o resultado de também pertence a . Como já vimos, é um número real, portanto, a operação é fechada em .

Passo 4

Em seguida, precisamos demonstrar a associatividade da operação (x otimes y) otimes z = x otimes (y otimes z) . Ou seja, para quaisquer , devemos ter:
Vamos calcular ambos os lados:
Primeiro, .
Então, .
Do outro lado, .
Então, .
Como ambos os lados resultam em , a operação é associativa.

Passo 5

Vamos encontrar o elemento neutro do grupo, ou seja, um número x otimes e = raiz[3]x^3 + e^3 = x que satisfaz x^3 + e^3 = x^3 para todo e^3 = 0 implies e = 0 .
Aplicando a definição:
Elevando ambos os lados ao cubo:
Subtraindo de ambos os lados:
Portanto, o elemento neutro é .

Passo 6

Agora, vamos verificar a existência do elemento inverso. Para cada x otimes y = 0 , precisamos encontrar um raiz[3]x^3 + y^3 = 0 tal que:
x^3 + y^3 = 0 implies y^3 = -x^3 implies y = -x
Usando a definição:
Elevando ao cubo:
Assim, o inverso de é .

Passo 7

Por fim, vamos comprovar a comutatividade da operação x otimes y = raiz[3]x^3 + y^3 = raiz[3]y^3 + x^3 = y otimes x . Para quaisquer :
Portanto, a operação é comutativa.

Resposta

Concluímos que satisfaz todas as propriedades de um grupo abeliano: é fechado, associativo, possui elemento neutro e inversos, e a operação é comutativa.

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