Mostre que munido da operação tal que é um grupo abeliano.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que o conjunto dos números reais, , com a operação definida por forma um grupo abeliano. Para isso, precisamos lembrar dos conceitos de grupos e grupos abelianos na álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a operação está bem definida, ou seja, se ao aplicar para quaisquer , o resultado também está em . Como somar dois números reais e tirar a raiz cúbica de um número real também resulta em um número real, a operação está bem definida em .
Passo 3
Agora, vamos verificar a propriedade de fechamento. Isso significa que para quaisquer , o resultado de também pertence a . Como já vimos, é um número real, portanto, a operação é fechada em .
Passo 4
Em seguida, precisamos demonstrar a associatividade da operação . Ou seja, para quaisquer , devemos ter:
Vamos calcular ambos os lados:
Primeiro, .
Então, .
Do outro lado, .
Então, .
Como ambos os lados resultam em , a operação é associativa.
Passo 5
Vamos encontrar o elemento neutro do grupo, ou seja, um número que satisfaz para todo .
Aplicando a definição:
Elevando ambos os lados ao cubo:
Subtraindo de ambos os lados:
Portanto, o elemento neutro é .
Passo 6
Agora, vamos verificar a existência do elemento inverso. Para cada , precisamos encontrar um tal que:
Usando a definição:
Elevando ao cubo:
Assim, o inverso de é .
Passo 7
Por fim, vamos comprovar a comutatividade da operação . Para quaisquer :
Portanto, a operação é comutativa.
Resposta
Concluímos que satisfaz todas as propriedades de um grupo abeliano: é fechado, associativo, possui elemento neutro e inversos, e a operação é comutativa.