Mostre que
munido da operação
tal que
é um grupo abeliano.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que o conjunto dos números reais,
, com a operação definida por
forma um grupo abeliano. Para isso, precisamos lembrar dos conceitos de grupos e grupos abelianos na álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a operação
está bem definida, ou seja, se ao aplicar
para quaisquer
, o resultado também está em
. Como somar dois números reais e tirar a raiz cúbica de um número real também resulta em um número real, a operação está bem definida em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar a propriedade de fechamento. Isso significa que para quaisquer
, o resultado de
também pertence a
. Como já vimos,
é um número real, portanto, a operação
é fechada em
.
Passo 4
Em seguida, precisamos demonstrar a associatividade da operação
. Ou seja, para quaisquer
, devemos ter:
Vamos calcular ambos os lados:
Primeiro,
.
Então,
.
Do outro lado,
.
Então,
.
Como ambos os lados resultam em
, a operação
é associativa.
Passo 5
Vamos encontrar o elemento neutro do grupo, ou seja, um número
que satisfaz
para todo
.
Aplicando a definição:
Elevando ambos os lados ao cubo:
Subtraindo
de ambos os lados:
Portanto, o elemento neutro é
.
Passo 6
Agora, vamos verificar a existência do elemento inverso. Para cada
, precisamos encontrar um
tal que:
Usando a definição:
Elevando ao cubo:
Assim, o inverso de
é
.
Passo 7
Por fim, vamos comprovar a comutatividade da operação
. Para quaisquer
:
Portanto, a operação
é comutativa.
Resposta
Concluímos que
satisfaz todas as propriedades de um grupo abeliano: é fechado, associativo, possui elemento neutro e inversos, e a operação é comutativa.