Fixe um sistema de coordenadas ortogonal
Considere o tetraedro O A B C onde O=(0,0,0), A=(1,0,0), B=(0,2,0) e C=(0,0,3). Acha a equação geral do plano pi paralelo a base A B C, distante 3 / 7 dela, e que intercepta o tetraedro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação geral de um plano pi que é paralelo à base ABC de um tetraedro OABC, está distante dessa base por 3/7 unidades e intercepta o tetraedro. A matéria envolvida aqui é geometria analítica, especialmente equações de planos e cálculo de distâncias entre planos.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a equação do plano da base ABC. Para isso, usamos os pontos A(1,0,0), B(0,2,0) e C(0,0,3). A equação geral de um plano é dada por Ax + By + Cz + D = 0. Vamos encontrar os coeficientes A, B, C e D usando esses três pontos.

Passo 3

Para encontrar os coeficientes, montamos um sistema de equações substituindo os pontos na equação do plano:
A(1) + B(0) + C(0) + D = 0 A(0) + B(2) + C(0) + D = 0 A(0) + B(0) + C(3) + D = 0
Isso simplifica para:
A + D = 0 2B + D = 0 3C + D = 0

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: D = -A
Da segunda: 2B - A = 0 Rightarrow A = 2B
Da terceira: 3C - A = 0 Rightarrow A = 3C
Podemos escolher C = 1 para simplificar, então A = 3 e B = 32. Assim, D = -3.

Passo 5

Agora, a equação do plano ABC é:
3x + 32y + z - 3 = 0
Podemos simplificar multiplicando todos os termos por 2 para eliminar a fração:
6x + 3y + 2z - 6 = 0

Passo 6

Como o plano pi é paralelo ao plano ABC, ele terá os mesmos coeficientes na equação geral, ou seja, 6x + 3y + 2z + D' = 0. Precisamos encontrar D' de modo que a distância entre os dois planos seja 3/7.

Passo 7

A fórmula para a distância entre dois planos paralelos Ax + By + Cz + D1 = 0 e Ax + By + Cz + D2 = 0 é:
Distância = |D2 - D1|raizA^2 + B^2 + C^2 â
No nosso caso, a distância é 3/7 e D1 = -6, então:
|D' - (-6)|raiz6^2 + 3^2 + 2^2 = 37

Passo 8

Calculando o denominador:
raiz36 + 9 + 4 = raiz49 = 7
Então:
|D' + 6|7 = 37
Multiplicando ambos os lados por 7:
|D' + 6| = 3

Passo 9

Isso nos dá duas possibilidades:
  1. D' + 6 = 3 Rightarrow D' = -3
  2. D' + 6 = -3 Rightarrow D' = -9

Passo 10

Portanto, há dois planos paralelos a ABC que estão a 3/7 de distância: um com D' = -3 e outro com D' = -9. Vamos escolher o que intercepta o tetraedro OABC.

Resposta

A equação geral do plano pi é 6x + 3y + 2z - 3 = 0.

Exercícios relacionados