Fixe um sistema de coordenadas ortogonal
Considere o tetraedro onde e . Acha a equação geral do plano paralelo a base , distante dela, e que intercepta o tetraedro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação geral de um plano que é paralelo à base de um tetraedro , está distante dessa base por unidades e intercepta o tetraedro. A matéria envolvida aqui é geometria analítica, especialmente equações de planos e cálculo de distâncias entre planos.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar a equação do plano da base . Para isso, usamos os pontos , e . A equação geral de um plano é dada por . Vamos encontrar os coeficientes , , e usando esses três pontos.
Passo 3
Para encontrar os coeficientes, montamos um sistema de equações substituindo os pontos na equação do plano:
Isso simplifica para:
Passo 4
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Da segunda:
Da terceira:
Podemos escolher para simplificar, então e . Assim, .
Passo 5
Agora, a equação do plano é:
Podemos simplificar multiplicando todos os termos por 2 para eliminar a fração:
Passo 6
Como o plano é paralelo ao plano , ele terá os mesmos coeficientes na equação geral, ou seja, . Precisamos encontrar de modo que a distância entre os dois planos seja .
Passo 7
A fórmula para a distância entre dois planos paralelos e é:
â
No nosso caso, a distância é e , então:
Passo 8
Calculando o denominador:
Então:
Multiplicando ambos os lados por 7:
Passo 9
Isso nos dá duas possibilidades:
Passo 10
Portanto, há dois planos paralelos a que estão a de distância: um com e outro com . Vamos escolher o que intercepta o tetraedro .