Fixe um sistema de coordenadas ortogonal
Considere o tetraedro onde e . Acha a equação geral do plano paralelo a base , distante dela, e que intercepta o tetraedro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação geral de um plano que é paralelo à base de um tetraedro , está distante dessa base por unidades e intercepta o tetraedro. A matéria envolvida aqui é geometria analítica, especialmente equações de planos e cálculo de distâncias entre planos.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar a equação do plano da base . Para isso, usamos os pontos , e . A equação geral de um plano é dada por . Vamos encontrar os coeficientes , , e usando esses três pontos.
Passo 3
Para encontrar os coeficientes, montamos um sistema de equações substituindo os pontos na equação do plano:
Isso simplifica para:
A + D = 0 2B + D = 0 3C + D = 0
Passo 4
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: D = -A
Da segunda: 2B - A = 0RightarrowA = 2B
Da terceira: 3C - A = 0RightarrowA = 3C
Podemos escolher C = 1 para simplificar, então A = 3 e B = 32. Assim, D = -3.
Passo 5
Agora, a equação do plano ABC é:
3x + 32y + z - 3 = 0
Podemos simplificar multiplicando todos os termos por 2 para eliminar a fração:
6x + 3y + 2z - 6 = 0
Passo 6
Como o plano pi é paralelo ao plano ABC, ele terá os mesmos coeficientes na equação geral, ou seja, 6x + 3y + 2z + D' = 0. Precisamos encontrar D' de modo que a distância entre os dois planos seja 3/7.
Passo 7
A fórmula para a distância entre dois planos paralelos Ax + By + Cz + D1 = 0 e Ax + By + Cz + D2 = 0 é:
Distância = |D2 - D1|raizA^2 + B^2 + C^2 â
No nosso caso, a distância é 3/7 e D1 = -6, então:
|D' - (-6)|raiz6^2 + 3^2 + 2^2 = 37
Passo 8
Calculando o denominador:
raiz36 + 9 + 4 = raiz49 = 7
Então:
|D' + 6|7 = 37
Multiplicando ambos os lados por 7:
|D' + 6| = 3
Passo 9
Isso nos dá duas possibilidades:
D' + 6 = 3RightarrowD' = -3
D' + 6 = -3RightarrowD' = -9
Passo 10
Portanto, há dois planos paralelos a ABC que estão a 3/7 de distância: um com D' = -3 e outro com D' = -9. Vamos escolher o que intercepta o tetraedro OABC.
Resposta
A equação geral do plano pi é 6x + 3y + 2z - 3 = 0.