Fixe um sistema de coordenadas ortogonal
Considere o tetraedro onde e . Acha a equação geral do plano paralelo a base , distante dela, e que intercepta o tetraedro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação geral de um plano que é paralelo à base de um tetraedro , está distante dessa base por unidades e intercepta o tetraedro. A matéria envolvida aqui é geometria analítica, especialmente equações de planos e cálculo de distâncias entre planos.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a equação do plano da base . Para isso, usamos os pontos , e . A equação geral de um plano é dada por . Vamos encontrar os coeficientes , , e usando esses três pontos.

Passo 3

Para encontrar os coeficientes, montamos um sistema de equações substituindo os pontos na equação do plano:
Isso simplifica para:

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Da segunda:
Da terceira:
Podemos escolher para simplificar, então e . Assim, .

Passo 5

Agora, a equação do plano é:
Podemos simplificar multiplicando todos os termos por 2 para eliminar a fração:

Passo 6

Como o plano é paralelo ao plano , ele terá os mesmos coeficientes na equação geral, ou seja, . Precisamos encontrar de modo que a distância entre os dois planos seja .

Passo 7

A fórmula para a distância entre dois planos paralelos e é:
â
No nosso caso, a distância é e , então:

Passo 8

Calculando o denominador:
Então:
Multiplicando ambos os lados por 7:

Passo 9

Isso nos dá duas possibilidades:

Passo 10

Portanto, há dois planos paralelos a que estão a de distância: um com e outro com . Vamos escolher o que intercepta o tetraedro .

Resposta

A equação geral do plano é .

Exercícios relacionados

Determine a equação geral dos planos tangentes à superfície esférica de equação que são paralelo ao plano .
Determine o plano que dista da reta e contém o ponto .
Identificar e representar graficamente as superfícies ou curvas no cujas as representações são dadas abaixo.(faça interseção com os planos coordenados)
e
Determine a equação e esboce a hipérbole: vértices e ;