Identificar e representar graficamente as superfícies ou curvas no
cujas as representações são dadas abaixo.(faça interseção com os planos coordenados)
e
Passo 1
Beleza! Vamos analisar o enunciado: precisamos identificar e desenhar graficamente as superfícies ou curvas no espaço tridimensional (
) dadas pela representação paramétrica
, onde
varia de
a
e
pode ser qualquer número real. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial e parametrizações de curvas e superfícies. Vamos precisar entender como interpretar essas funções paramétricas e como elas se relacionam com as coordenadas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização dada:
. Aqui,
é um parâmetro que varia de
a
, e
pode ser qualquer valor real. Isso significa que para cada valor de
, podemos escolher qualquer valor de
.
Passo 3
Vamos fixar o valor de
momentaneamente e observar o que acontece com
e
. As componentes
e
da parametrização são
e
, respectivamente. Se ignorarmos
, temos a curva
no plano
.
Passo 4
A curva
descreve uma circunferência de raio
no plano
, porque
leva a
. Isso é a equação de um círculo com centro na origem e raio
.
Passo 5
Agora, voltando à parametrização completa
, percebemos que para cada ponto na circunferência
, o valor de
pode variar livremente. Isso significa que temos uma linha vertical para cada ponto do círculo, estendendo-se infinitamente nas direções positiva e negativa de
.
Passo 6
Quando unimos todas essas linhas verticais, obtemos uma superfície chamada cilindro. Especificamente, é um cilindro circular reto de raio
, alinhado ao longo do eixo
. Esse cilindro é formado pela translação da circunferência
ao longo da direção do eixo
.
Passo 7
Para representar graficamente essa superfície, podemos desenhar o círculo
no plano
e então estender esse círculo em ambas as direções do eixo
, formando um cilindro longo e uniforme.
Resposta
A representação paramétrica
, com
e
, descreve um cilindro circular reto de raio
alinhado ao longo do eixo
no espaço tridimensional.