Identificar e representar graficamente as superfícies ou curvas no R^3 cujas as representações são dadas abaixo.(faça interseção com os planos coordenados)
(2 cos (theta), y, 2 sen(theta)), 0 <= theta <= 2 pi e y in R

Passo 1

Beleza! Vamos analisar o enunciado: precisamos identificar e desenhar graficamente as superfícies ou curvas no espaço tridimensional ( R^3) dadas pela representação paramétrica (2 cos (theta), y, 2 sen(theta)), onde theta varia de 0 a 2pi e y pode ser qualquer número real. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial e parametrizações de curvas e superfícies. Vamos precisar entender como interpretar essas funções paramétricas e como elas se relacionam com as coordenadas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização dada: (2 cos (theta), y, 2 sen(theta)). Aqui, theta é um parâmetro que varia de 0 a 2pi, e y pode ser qualquer valor real. Isso significa que para cada valor de theta, podemos escolher qualquer valor de y.

Passo 3

Vamos fixar o valor de y momentaneamente e observar o que acontece com x e z. As componentes x e z da parametrização são 2 cos (theta) e 2 sen(theta), respectivamente. Se ignorarmos y, temos a curva (2 cos (theta), 2 sen(theta)) no plano xz.

Passo 4

A curva (2 cos (theta), 2 sen(theta)) descreve uma circunferência de raio 2 no plano xz, porque cos^2(theta) + sen^2(theta) = 1 leva a x^2 + z^2 = 4. Isso é a equação de um círculo com centro na origem e raio 2.

Passo 5

Agora, voltando à parametrização completa (2 cos (theta), y, 2 sen(theta)), percebemos que para cada ponto na circunferência x^2 + z^2 = 4, o valor de y pode variar livremente. Isso significa que temos uma linha vertical para cada ponto do círculo, estendendo-se infinitamente nas direções positiva e negativa de y.

Passo 6

Quando unimos todas essas linhas verticais, obtemos uma superfície chamada cilindro. Especificamente, é um cilindro circular reto de raio 2, alinhado ao longo do eixo y. Esse cilindro é formado pela translação da circunferência x^2 + z^2 = 4 ao longo da direção do eixo y.

Passo 7

Para representar graficamente essa superfície, podemos desenhar o círculo x^2 + z^2 = 4 no plano xz e então estender esse círculo em ambas as direções do eixo y, formando um cilindro longo e uniforme.

Resposta

A representação paramétrica (2 cos (theta), y, 2 sen(theta)), com 0 <= theta <= 2pi e y in R, descreve um cilindro circular reto de raio 2 alinhado ao longo do eixo y no espaço tridimensional.

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