Determine uma equação geral das retas do plano x O y :
(ii) perpendicular à reta do plano x O y, que tem equação geral dada por 5 x - 2 y = 2 e que contém o ponto (-2, 3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a equação geral de uma reta no plano xy que seja perpendicular à reta e que passe pelo ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas perpendiculares e como encontrar a equação de uma reta a partir de um ponto e da inclinação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a inclinação (coeficiente angular) da reta dada . Para isso, vamos escrever a equação na forma , onde m é o coeficiente angular.
Começando com , isolamos y:
Dividindo todos os termos por -2:
Então, a inclinação da reta dada é .

Passo 3

Como queremos uma reta que seja perpendicular à reta original, precisamos lembrar que se duas retas são perpendiculares, os coeficientes angulares delas multiplicados dão -1. Em outras palavras, se é o coeficiente angular da primeira reta, o coeficiente angular da reta perpendicular será .
Aplicando isso:
Portanto, a inclinação da reta que estamos procurando é .

Passo 4

Agora que temos a inclinação da reta perpendicular, usamos a fórmula da equação da reta que passa por um ponto com inclinação m:
Substituindo as informações que temos: e o ponto .
Simplificando:

Passo 5

Vamos distribuir o na expressão:
Agora, vamos trazer o 3 para o outro lado da equação:
Convertendo 3 para uma fração com denominador 5:
Então:

Passo 6

Por fim, vamos escrever a equação na forma geral . Para isso, multiplicamos todos os termos por 5 para eliminar os denominadores:
Rearranjando os termos:

Resposta

A equação geral da reta perpendicular a e que passa pelo ponto é:

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