Determine uma equação geral das retas do plano
:
(ii) perpendicular à reta do plano
, que tem equação geral dada por
e que contém o ponto
.
(ii) perpendicular à reta do plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a equação geral de uma reta no plano
que seja perpendicular à reta
e que passe pelo ponto
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas perpendiculares e como encontrar a equação de uma reta a partir de um ponto e da inclinação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a inclinação (coeficiente angular) da reta dada
. Para isso, vamos escrever a equação na forma
, onde
é o coeficiente angular.
Começando com
, isolamos
:
Dividindo todos os termos por
:
Então, a inclinação da reta dada é
.
Passo 3
Como queremos uma reta que seja perpendicular à reta original, precisamos lembrar que se duas retas são perpendiculares, os coeficientes angulares delas multiplicados dão
. Em outras palavras, se
é o coeficiente angular da primeira reta, o coeficiente angular da reta perpendicular será
.
Aplicando isso:
Portanto, a inclinação da reta que estamos procurando é
.
Passo 4
Agora que temos a inclinação da reta perpendicular, usamos a fórmula da equação da reta que passa por um ponto
com inclinação
:
Substituindo as informações que temos:
e o ponto
.
Simplificando:
Passo 5
Vamos distribuir o
na expressão:
Agora, vamos trazer o 3 para o outro lado da equação:
Convertendo 3 para uma fração com denominador 5:
Então:
Passo 6
Por fim, vamos escrever a equação na forma geral
. Para isso, multiplicamos todos os termos por 5 para eliminar os denominadores:
Rearranjando os termos:
Resposta
A equação geral da reta perpendicular a
e que passa pelo ponto
é: