Determine a equação da hipérbole com centro em
, focos em
, e vértices em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar a equação de uma hipérbole que tem o centro em
, focos em
e vértices em
. A gente vai precisar usar os conceitos de equação padrão da hipérbole e entender como os elementos como centro, focos e vértices se relacionam nessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação padrão da hipérbole depende da orientação dela. Se a hipérbole abre para os lados (horizontal), a fórmula é:
E se abre para cima e para baixo (vertical), é:
Onde
é o centro,
é a distância do centro aos vértices, e
é a distância do centro aos focos. Além disso,
.
Passo 3
No nosso caso, os focos estão em
, o que significa que eles estão deslocados na direção do eixo x. Isso indica que a hipérbole abre para os lados, então vamos usar a primeira equação.
Passo 4
Sabemos que o centro
é
. Os vértices estão em
, então a distância
é 2.
Passo 5
Os focos estão em
, o que nos dá a distância
.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar
. Usamos a relação
:
Passo 7
Com todos os valores encontrados, podemos montar a equação da hipérbole:
Resposta
A equação da hipérbole é: