Determine a equação da hipérbole com centro em (3,2), focos em (3 pm 4,2), e vértices em (3 pm 2,2) ^* *

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar a equação de uma hipérbole que tem o centro em , focos em e vértices em . A gente vai precisar usar os conceitos de equação padrão da hipérbole e entender como os elementos como centro, focos e vértices se relacionam nessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação padrão da hipérbole depende da orientação dela. Se a hipérbole abre para os lados (horizontal), a fórmula é:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
E se abre para cima e para baixo (vertical), é:
(y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1
Onde é o centro, é a distância do centro aos vértices, e é a distância do centro aos focos. Além disso, .

Passo 3

No nosso caso, os focos estão em , o que significa que eles estão deslocados na direção do eixo x. Isso indica que a hipérbole abre para os lados, então vamos usar a primeira equação.

Passo 4

Sabemos que o centro é . Os vértices estão em , então a distância é 2.

Passo 5

Os focos estão em , o que nos dá a distância .

Passo 6

Agora, precisamos encontrar 4^2 = 2^2 + b^2 16 = 4 + b^2 b^2 = 12 . Usamos a relação :

Passo 7

Com todos os valores encontrados, podemos montar a equação da hipérbole:
(x - 3)^24 - (y - 2)^212 = 1

Resposta

A equação da hipérbole é:
(x - 3)^24 - (y - 2)^212 = 1

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