Determine os escalares x, y, w e z de modo que se tenha
w(ll x+y & w+z w-z & x-y )=(cc 4 & 6 10 & 2 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar os escalares w(cc x+y & w+z w-z & x-y ) = (cc 4 & 6 10 & 2 ) e que satisfazem a seguinte equação de matrizes:
Aqui, estamos trabalhando com álgebra matricial. Para resolver, vamos igualar os elementos correspondentes das matrizes e resolver o sistema de equações resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar o escalar (cc w(x+y) & w(w+z) w(w-z) & w(x-y) ) = (cc 4 & 6 10 & 2 ) por cada elemento da matriz à esquerda:

Passo 3

Agora, igualamos os elementos correspondentes das duas matrizes:

Passo 4

Vamos resolver as equações 2 e 3 para encontrar w(w + z) = 6 (2) e w(w - z) = 10 (3) .
Primeiro, das equações:
w(w + z) - w(w - z) = 6 - 10
wz + wz = -4
Vamos subtrair a equação (3) da equação (2):
2wz = -4 implies wz = -2 (5)

Passo 5

Agora, somamos as equações (2) e (3):
w(w + z) + w(w - z) = 6 + 10
w^2 + wz + w^2 - wz = 16
2w^2 = 16 implies w^2 = 8 implies w = raiz8 ou w = -raiz8
Simplificando w = 2raiz2 ou w = -2raiz2 , então:
Vamos considerar . (A solução com pode ser feita de forma similar.)

Passo 6

Usando (2raiz2)z = -2 implies z = -22raiz2 = -1raiz2 = -raiz22 na equação (5):

Passo 7

Agora, vamos usar a equação (1) e (4) para encontrar w(x + y) = 4 (1) e w(x - y) = 2 (4) .
Temos:
2raiz2(x + y) = 4 implies x + y = 42raiz2 = 2raiz2 = raiz2
2raiz2(x - y) = 2 implies x - y = 22raiz2 = 1raiz2 = raiz22
Substituindo :

Passo 8

Agora, temos:
x + y = raiz2 (6)
x - y = raiz22 (7)
Vamos somar as equações (6) e (7):
(x + y) + (x - y) = raiz2 + raiz22
2x = 3raiz22 implies x = 3raiz24
Substituindo 3raiz24 + y = raiz2 implies y = raiz2 - 3raiz24 = raiz24 na equação (6):

Resposta

Os escalares que satisfazem a equação são:
w = 2raiz2, z = -raiz22, x = 3raiz24, y = raiz24

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