Determine uma equação de hipérbole equilátera de focos
e
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a equação de uma hipérbole equilátera com focos em
e
. Estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente focando em hipérboles. Para isso, precisaremos identificar o centro da hipérbole, medir a distância entre os focos e aplicar as propriedades das hipérboles equiláteras para encontrar a equação final.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o centro da hipérbole. O centro é o ponto médio entre os dois focos. As coordenadas dos focos são
e
.
Para encontrar o ponto médio
, usamos:
Então, o centro da hipérbole é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância entre os dois focos, que é
. A distância entre
e
no eixo y é de
unidades. Portanto:
Passo 4
Como estamos lidando com uma hipérbole equilátera, sabemos que os eixos
e
são iguais, ou seja,
. A relação entre
,
e
para uma hipérbole é dada por:
Como
, substituímos:
Então,
.
Passo 5
Com o centro
, e sabendo que a hipérbole abre verticalmente (já que os focos estão alinhados no eixo y), a equação padrão da hipérbole é:
Substituindo os valores encontrados:
Resposta
A equação da hipérbole equilátera é:
Exercícios relacionados
Suponhamos que
e
são subespaços distintos de dimensão 4 de um espaço vetorial de dimensão 6. Encontre as dimensões possíveis de
.
Da hipérbole
, determine seus focos, suas retas assíntotas e as retas tagentes aos seus vértices.
Determine os extremos das duas cordas focais da hipérbole
, que são paralelas à reta
. Mostre que os pontos médios dessas cordas e o centro de
estão alinhados.