Determine uma equação de hipérbole equilátera de focos F1=(1,6) e F2=(1,-2).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a equação de uma hipérbole equilátera com focos em e . Estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente focando em hipérboles. Para isso, precisaremos identificar o centro da hipérbole, medir a distância entre os focos e aplicar as propriedades das hipérboles equiláteras para encontrar a equação final.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro da hipérbole. O centro é o ponto médio entre os dois focos. As coordenadas dos focos são h = x1 + x22 = 1 + 12 = 1 e k = y1 + y22 = 6 + (-2)2 = 2 .
Para encontrar o ponto médio , usamos:
Então, o centro da hipérbole é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre os dois focos, que é 2c = 8 implies c = 82 = 4 . A distância entre e no eixo y é de unidades. Portanto:

Passo 4

Como estamos lidando com uma hipérbole equilátera, sabemos que os eixos c^2 = a^2 + b^2 e c^2 = 2a^2 implies a = craiz2 = 4raiz2 = 2raiz2 são iguais, ou seja, . A relação entre , e para uma hipérbole é dada por:
Como , substituímos:
Então, .

Passo 5

Com o centro (y - k)^2a^2 - (x - h)^2a^2 = 1 , e sabendo que a hipérbole abre verticalmente (já que os focos estão alinhados no eixo y), a equação padrão da hipérbole é:
(y - 2)^28 - (x - 1)^28 = 1
Substituindo os valores encontrados:

Resposta

A equação da hipérbole equilátera é:
(y - 2)^28 - (x - 1)^28 = 1

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