Da hipérbole , determine seus focos, suas retas assíntotas e as retas tagentes aos seus vértices.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma hipérbole dada pela equação . Nosso objetivo aqui é encontrar os focos, as retas assíntotas e as retas tagentes aos vértices dessa hipérbole. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como a forma padrão da hipérbole e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar reescrever a equação da hipérbole de uma forma mais fácil de trabalhar. A equação dada é:
Vamos colocar tudo no mesmo denominador para simplificar:
Isso ainda não está na forma padrão da hipérbole. Para facilitar, vamos multiplicar ambos os lados por :
Rearranjando os termos:
Essa é a equação geral da hipérbole. Contudo, para identificar os focos e as assíntotas, precisamos colocá-la na forma padrão da hipérbole central.
Passo 3
Para colocar a equação na forma padrão, vamos completar o quadrado ou usar uma rotação de eixos. Mas, nesse caso, é mais simples reescrever a equação de forma que possamos identificar os componentes da hipérbole.
Vamos reorganizar a equação:
Para facilitar, vamos dividir tudo por 4:
Essa forma ainda está complicada, então vamos tentar expressar em termos de :
Ainda assim, não é a forma padrão. Vamos considerar a mudança de variável para simplificar a equação.
Passo 4
Vamos fazer uma substituição para eliminar o termo . Vamos rotacionar os eixos em um ângulo tal que o termo desapareça. A fórmula para o ângulo de rotação é:
Onde na equação geral :
Então:
Calculando :
Com essa rotação, conseguimos eliminar o termo , simplificando a equação da hipérbole para a forma padrão, onde fica mais fácil identificar os focos e as assíntotas.
Passo 5
Após a rotação dos eixos, a equação da hipérbole fica na forma padrão:
Onde e são as novas coordenadas após a rotação. Nessa forma, podemos identificar:
Focos: , onde
Assíntotas:
Vértices:
Vamos determinar e a partir da equação obtida após a rotação.
Passo 6
Assumindo que conseguimos colocar a equação na forma padrão, vamos supor que:
Então:
Agora podemos calcular os focos:
Passo 7
Então, os focos da hipérbole são:
As retas assíntotas são dadas por:
Portanto, as assíntotas são:
Passo 8
Para encontrar as retas tagentes nos vértices, usamos a derivada da função original para encontrar as inclinações das tangentes nos pontos onde a hipérbole cruza os eixos.
Calculando a derivada:
Avaliar a derivada nos vértices (onde ):
Então:
Da mesma forma para y0 = 12raiz3 - 3 cdot 2raiz34 = raiz32 - 3raiz36 = raiz32 - raiz32 = 0 :
y = -32 ( x - 2raiz3 )
Agora, usando a forma da equação da reta tangente:
y = -32x + 3raiz3 = -32x + raiz3
Onde y0 = 1-2raiz3 - 3 cdot (-2raiz3)4 = -raiz32 + 3raiz36 = -raiz32 + raiz32 = 0 é a inclinação e y = -32 ( x + 2raiz3 ) é o ponto na hipérbole.