Determine os extremos das duas cordas focais da hipérbole H: x^2-y^2=1, que são paralelas à reta (raiz2) x-y=0. Mostre que os pontos médios dessas cordas e o centro de H estão alinhados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os extremos das duas cordas focais da hipérbole H: x^2-y^2=1 que são paralelas à reta raiz2x - y = 0. Além disso, precisamos mostrar que os pontos médios dessas cordas e o centro da hipérbole estão alinhados. Para isso, vamos utilizar os conceitos de hipérbole, suas propriedades e um pouco de geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a hipérbole dada: x^2 - y^2 = 1. Essa é uma hipérbole centralizada na origem (0,0), com eixo transversal no eixo x e eixo conjugado no eixo y. Os focos dessa hipérbole estão localizados em (pm c, 0), onde c = raiza^2 + b^2. Aqui, a = 1 e b = 1, então c = raiz1 + 1 = raiz2. Portanto, os focos são (raiz2, 0) e (-raiz2, 0).

Passo 3

Agora, vamos considerar as cordas focais paralelas à reta dada raiz2x - y = 0. Essa reta tem coeficiente angular m = raiz2. Como queremos cordas focais, elas devem passar pelos focos da hipérbole. Portanto, precisamos encontrar as equações das retas que passam por cada foco e têm inclinação raiz2.

Passo 4

Vamos encontrar as equações das retas paralelas à raiz2x - y = 0 que passam pelos focos (raiz2, 0) e (-raiz2, 0). A forma geral da equação de uma reta com inclinação m passando por um ponto (x0, y0) é:
y - y0 = m(x - x0)
Substituindo m = raiz2 e os pontos focais:
Para o foco (raiz2, 0):
y - 0 = raiz2(x - raiz2) y = raiz2x - 2
Para o foco (-raiz2, 0):
y - 0 = raiz2(x + raiz2) y = raiz2x + 2

Passo 5

Agora temos as equações das duas cordas focais:
  1. y = raiz2x - 2
  2. y = raiz2x + 2
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas retas com a hipérbole H: x^2 - y^2 = 1. Esses pontos serão os extremos das cordas focais.

Passo 6

Vamos substituir a equação da primeira corda focal na equação da hipérbole:
x^2 - (raiz2x - 2)^2 = 1 x^2 - (2x^2 - 4raiz2x + 4) = 1 x^2 - 2x^2 + 4raiz2x - 4 = 1 - x^2 + 4raiz2x - 5 = 0 x^2 - 4raiz2x + 5 = 0
Resolvendo essa equação quadrática para x:
x = 4raiz2 pm raiz(4raiz2)^2 - 4 cdot 1 cdot 52 cdot 1 x = 4raiz2 pm raiz32 - 202 x = 4raiz2 pm raiz122 x = 4raiz2 pm 2raiz32 x = 2raiz2 pm raiz3
Agora, encontramos os valores de y substituindo x na equação da primeira corda:
Para x = 2raiz2 + raiz3:
y = raiz2(2raiz2 + raiz3) - 2 = 4 + raiz6 - 2 = 2 + raiz6
Para x = 2raiz2 - raiz3:
y = raiz2(2raiz2 - raiz3) - 2 = 4 - raiz6 - 2 = 2 - raiz6
Então, os extremos da primeira corda focal são (2raiz2 + raiz3, 2 + raiz6) e (2raiz2 - raiz3, 2 - raiz6).

Passo 7

Agora, vamos repetir o mesmo processo para a segunda corda focal y = raiz2x + 2.
Substituindo na equação da hipérbole:
x^2 - (raiz2x + 2)^2 = 1 x^2 - (2x^2 + 4raiz2x + 4) = 1 x^2 - 2x^2 - 4raiz2x - 4 = 1 - x^2 - 4raiz2x - 5 = 0 x^2 + 4raiz2x + 5 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
x = -4raiz2 pm raiz(4raiz2)^2 - 4 cdot 1 cdot 52 cdot 1 x = -4raiz2 pm raiz32 - 202 x = -4raiz2 pm raiz122 x = -4raiz2 pm 2raiz32 x = -2raiz2 pm raiz3
Encontrando y para cada x:
Para x = -2raiz2 + raiz3:
y = raiz2(-2raiz2 + raiz3) + 2 = -4 + raiz6 + 2 = -2 + raiz6
Para x = -2raiz2 - raiz3:
y = raiz2(-2raiz2 - raiz3) + 2 = -4 - raiz6 + 2 = -2 - raiz6
Portanto, os extremos da segunda corda focal são (-2raiz2 + raiz3, -2 + raiz6) e (-2raiz2 - raiz3, -2 - raiz6).

Passo 8

Agora que temos os extremos das duas cordas focais, vamos encontrar os pontos médios de cada uma delas.
Para a primeira corda focal com extremos (2raiz2 + raiz3, 2 + raiz6) e (2raiz2 - raiz3, 2 - raiz6):
Coordenadas do ponto médio:
( (2raiz2 + raiz3) + (2raiz2 - raiz3)2, (2 + raiz6) + (2 - raiz6)2 ) = ( 4raiz22, 42 ) = (2raiz2, 2)
Para a segunda corda focal com extremos (-2raiz2 + raiz3, -2 + raiz6) e (-2raiz2 - raiz3, -2 - raiz6):
Coordenadas do ponto médio:
( (-2raiz2 + raiz3) + (-2raiz2 - raiz3)2, (-2 + raiz6) + (-2 - raiz6)2 ) = ( -4raiz22, -42 ) = (-2raiz2, -2)

Passo 9

O centro da hipérbole H: x^2 - y^2 = 1 é na origem (0,0). Agora, vamos verificar se os pontos médios (2raiz2, 2), (-2raiz2, -2) e o centro (0,0) estão alinhados.
Para isso, vamos verificar se esses três pontos estão sobre a mesma reta. Podemos calcular o coeficiente angular entre o centro e um dos pontos médios e ver se é o mesmo entre os dois pontos médios.
Calculando entre (0,0) e (2raiz2, 2):
m1 = 2 - 02raiz2 - 0 = 22raiz2 = 1raiz2
Calculando entre (2raiz2, 2) e (-2raiz2, -2):
m2 = -2 - 2-2raiz2 - 2raiz2 = -4-4raiz2 = 1raiz2
Como m1 = m2 = 1raiz2, os três pontos estão alinhados.

Resposta

Os extremos das duas cordas focais paralelas à reta raiz2x - y = 0 são (2raiz2 + raiz3, 2 + raiz6), (2raiz2 - raiz3, 2 - raiz6), (-2raiz2 + raiz3, -2 + raiz6) e (-2raiz2 - raiz3, -2 - raiz6). Além disso, os pontos médios dessas cordas (2raiz2, 2) e (-2raiz2, -2) estão alinhados com o centro da hipérbole (0,0).

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