Determine os extremos das duas cordas focais da hipérbole
, que são paralelas à reta
. Mostre que os pontos médios dessas cordas e o centro de
estão alinhados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os extremos das duas cordas focais da hipérbole
que são paralelas à reta
. Além disso, precisamos mostrar que os pontos médios dessas cordas e o centro da hipérbole estão alinhados. Para isso, vamos utilizar os conceitos de hipérbole, suas propriedades e um pouco de geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a hipérbole dada:
. Essa é uma hipérbole centralizada na origem
, com eixo transversal no eixo
e eixo conjugado no eixo
. Os focos dessa hipérbole estão localizados em
, onde
. Aqui,
e
, então
. Portanto, os focos são
e
.
Passo 3
Agora, vamos considerar as cordas focais paralelas à reta dada
. Essa reta tem coeficiente angular
. Como queremos cordas focais, elas devem passar pelos focos da hipérbole. Portanto, precisamos encontrar as equações das retas que passam por cada foco e têm inclinação
.
Passo 4
Vamos encontrar as equações das retas paralelas à
que passam pelos focos
e
. A forma geral da equação de uma reta com inclinação
passando por um ponto
é:
Substituindo
e os pontos focais:
Para o foco
:
Para o foco
:
Passo 5
Agora temos as equações das duas cordas focais:
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas retas com a hipérbole
. Esses pontos serão os extremos das cordas focais.
Passo 6
Vamos substituir a equação da primeira corda focal na equação da hipérbole:
Resolvendo essa equação quadrática para
:
Agora, encontramos os valores de
substituindo
na equação da primeira corda:
Para
:
Para
:
Então, os extremos da primeira corda focal são
e
.
Passo 7
Agora, vamos repetir o mesmo processo para a segunda corda focal
.
Substituindo na equação da hipérbole:
Resolvendo a equação quadrática:
Encontrando
para cada
:
Para
:
Para
:
Portanto, os extremos da segunda corda focal são
e
.
Passo 8
Agora que temos os extremos das duas cordas focais, vamos encontrar os pontos médios de cada uma delas.
Para a primeira corda focal com extremos
e
:
Coordenadas do ponto médio:
Para a segunda corda focal com extremos
e
:
Coordenadas do ponto médio:
Passo 9
O centro da hipérbole
é na origem
. Agora, vamos verificar se os pontos médios
,
e o centro
estão alinhados.
Para isso, vamos verificar se esses três pontos estão sobre a mesma reta. Podemos calcular o coeficiente angular entre o centro e um dos pontos médios e ver se é o mesmo entre os dois pontos médios.
Calculando entre
e
:
Calculando entre
e
:
Como
, os três pontos estão alinhados.
Resposta
Os extremos das duas cordas focais paralelas à reta
são
,
,
e
. Além disso, os pontos médios dessas cordas
e
estão alinhados com o centro da hipérbole
.