Determine uma equação da hipérbole eqüilátera de focos nos pontos
e
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole equilátera que tem os focos nos pontos
e
. Para isso, vamos usar alguns conceitos de geometria analítica, como a definição de hipérbole e a fórmula geral da equação de uma hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma hipérbole equilátera. Uma hipérbole equilátera é aquela cujo eixo maior e menor são de mesmo comprimento, ou seja, os eixos são perpendiculares e iguais. Além disso, os focos estão alinhados ao longo de um dos eixos.
Passo 3
Os pontos
e
são os focos da hipérbole. Vamos encontrar o centro da hipérbole, que fica no ponto médio entre os focos.
Para achar o ponto médio
entre
e
:
Então, o centro da hipérbole é
.
Passo 4
Agora, vamos determinar a distância entre os dois focos, que é
, onde
é a distância do centro até cada foco.
Calculando a distância entre
e
:
Passo 5
Como a hipérbole é equilátera, sabemos que
, onde
é a distância do centro até os vértices no eixo principal e
é a distância no eixo secundário.
A relação entre
e
em uma hipérbole é:
Como
, podemos escrever:
Passo 6
Sabendo que o centro da hipérbole é
e que o eixo principal é vertical (já que os focos têm a mesma coordenada x), a equação padrão da hipérbole é:
Onde
é o centro.
Substituindo os valores:
Multiplicando ambos os lados por 8 para simplificar:
Resposta
A equação da hipérbole equilátera é: