Determine uma equação da hipérbole eqüilátera de focos nos pontos F1(1,6) e F2(1,-2).
(y-2)^2-(x-1)^2=8

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole equilátera que tem os focos nos pontos e . Para isso, vamos usar alguns conceitos de geometria analítica, como a definição de hipérbole e a fórmula geral da equação de uma hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma hipérbole equilátera. Uma hipérbole equilátera é aquela cujo eixo maior e menor são de mesmo comprimento, ou seja, os eixos são perpendiculares e iguais. Além disso, os focos estão alinhados ao longo de um dos eixos.

Passo 3

Os pontos C( 1+12, 6+(-2)2 ) = C(1, 2) e são os focos da hipérbole. Vamos encontrar o centro da hipérbole, que fica no ponto médio entre os focos.
Para achar o ponto médio entre e :
Então, o centro da hipérbole é .

Passo 4

Agora, vamos determinar a distância entre os dois focos, que é 2c = raiz(1-1)^2 + (6-(-2))^2 = raiz0 + 64 = 8 , onde Rightarrow c = 4 é a distância do centro até cada foco.
Calculando a distância entre e :

Passo 5

Como a hipérbole é equilátera, sabemos que c^2 = a^2 + b^2 , onde c^2 = 2a^2 Rightarrow a^2 = c^22 = 162 = 8 é a distância do centro até os vértices no eixo principal e Rightarrow a = raiz8 = 2raiz2 é a distância no eixo secundário.
A relação entre e em uma hipérbole é:
Como , podemos escrever:

Passo 6

Sabendo que o centro da hipérbole é (y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1 e que o eixo principal é vertical (já que os focos têm a mesma coordenada x), a equação padrão da hipérbole é:
(y - 2)^28 - (x - 1)^28 = 1
Onde (y - 2)^2 - (x - 1)^2 = 8 é o centro.
Substituindo os valores:
Multiplicando ambos os lados por 8 para simplificar:

Resposta

A equação da hipérbole equilátera é:
(y - 2)^2 - (x - 1)^2 = 8

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