Dois vértices de um triângulo são os pontos e B . Determine uma equação do lugar geométrico do terceiro vértice C , se este se move de tal forma que a diferença entre os comprimentos AC e BC é sempre igual à metade do comprimento do lado AB. (menos o vértice)
Passo 1
Entendendo o problema: Temos dois pontos no plano, e , que são vértices de um triângulo. Queremos descobrir a equação que descreve todos os possíveis pontos que podem ser o terceiro vértice desse triângulo, de modo que a diferença entre as distâncias de a e de a seja sempre igual à metade da distância entre e .
Conteúdo necessário: Vamos trabalhar com geometria analítica, especificamente com a definição de uma hipérbole, que é o lugar geométrico dos pontos cuja diferença das distâncias para dois pontos fixos (focos) é constante.
Passo 2
Calculando a distância entre e :
Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
A metade de é:
Então, a diferença das distâncias deve ser igual a 2.
Passo 3
Formulando a equação da hipérbole:
Para pontos , temos:
Expandindo as distâncias:
Como estamos lidando com uma hipérbole, podemos eliminar o valor absoluto e resolver as duas possibilidades:
Passo 4
Resolvendo a equação:
Vamos resolver a primeira equação:
raiz(x - 1)^2 + y^2 - raiz(x - 5)^2 + y^2 = 2
Isolamos uma das raízes:
raiz(x - 1)^2 + y^2 = raiz(x - 5)^2 + y^2 + 2
Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz: