Dois vértices de um triângulo são os pontos A(1,0) e B (5,0). Determine uma equação do lugar geométrico do terceiro vértice C , se este se move de tal forma que a diferença entre os comprimentos AC e BC é sempre igual à metade do comprimento do lado AB.
3 x^2-y^2-18 x+24=0 (menos o vértice)

Passo 1

Entendendo o problema: Temos dois pontos no plano, e , que são vértices de um triângulo. Queremos descobrir a equação que descreve todos os possíveis pontos que podem ser o terceiro vértice desse triângulo, de modo que a diferença entre as distâncias de a e de a seja sempre igual à metade da distância entre e .
Conteúdo necessário: Vamos trabalhar com geometria analítica, especificamente com a definição de uma hipérbole, que é o lugar geométrico dos pontos cuja diferença das distâncias para dois pontos fixos (focos) é constante.

Passo 2

Calculando a distância entre AB = raiz(5 - 1)^2 + (0 - 0)^2 = raiz16 = 4 e AB2 = 42 = 2 :
Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
A metade de é:
Então, a diferença das distâncias deve ser igual a 2.

Passo 3

Formulando a equação da hipérbole:
Para pontos |AC - BC| = 2 , temos:
| raiz(x - 1)^2 + y^2 - raiz(x - 5)^2 + y^2 | = 2
Expandindo as distâncias:
Como estamos lidando com uma hipérbole, podemos eliminar o valor absoluto e resolver as duas possibilidades:

Passo 4

Resolvendo a equação:
Vamos resolver a primeira equação:
raiz(x - 1)^2 + y^2 - raiz(x - 5)^2 + y^2 = 2
Isolamos uma das raízes:
raiz(x - 1)^2 + y^2 = raiz(x - 5)^2 + y^2 + 2
Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(x - 1)^2 + y^2 = ( raiz(x - 5)^2 + y^2 + 2 )^2
Expandindo o lado direito:
(x - 1)^2 + y^2 = (x - 5)^2 + y^2 + 4raiz(x - 5)^2 + y^2 + 4
Simplificamos cancelando (x - 1)^2 = (x - 5)^2 + 4raiz(x - 5)^2 + y^2 + 4 de ambos os lados:
x^2 - 2x + 1 = x^2 - 10x + 25 + 4raiz(x - 5)^2 + y^2 + 4
Expandindo os quadrados:
-2x + 1 = -10x + 29 + 4raiz(x - 5)^2 + y^2
Simplificando:
8x - 28 = 4raiz(x - 5)^2 + y^2
Levantamos termos semelhantes:
2x - 7 = raiz(x - 5)^2 + y^2
Dividimos ambos os lados por 4:
(2x - 7)^2 = (x - 5)^2 + y^2
Elevamos novamente ao quadrado:
4x^2 - 28x + 49 = x^2 -10x +25 + y^2
Expandindo:
3x^2 - 18x + 24 = y^2
Rearranjando:
3x^2 - y^2 -18x +24 = 0
Ou, de forma organizada:

Resposta

A equação do lugar geométrico do terceiro vértice 3x^2 - y^2 -18x +24 = 0 é:

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