Determine a equação da hipérbole que tem focos e e excentricidade .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a equação da hipérbole que tem focos nos pontos (2,1) e (4,1), e uma excentricidade de 2raiz3. Para isso, vamos usar alguns conceitos de geometria analítica, especificamente sobre hipérboles, focos, e excentricidade. Precisamos entender a posição dos focos, calcular o centro da hipérbole, e usar a relação entre os parâmetros para chegar na equação final.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os focos da hipérbole: (2,1) e (4,1). Como os dois pontos têm a mesma coordenada y, a hipérbole está alinhada horizontalmente.
Passo 3
O centro da hipérbole fica no ponto médio entre os focos. Para encontrar o centro (h,k), calculamos:
h = 2 + 42 = 3 k = 1 + 12 = 1
Então, o centro é (3,1).
Passo 4
A distância entre os focos é 2c, onde c é a distância do centro a cada foco. Calculando:
2c = 4 - 2 = 2 c = 1
Então, c = 1.
Passo 5
A excentricidade e da hipérbole é dada por e = ca. Sabemos que e = 2raiz3, então podemos calcular a:
2raiz3 = 1a a = raiz32
Passo 6
Agora, precisamos encontrar b. A relação entre a, b e c para hipérboles é: