Determine a equação da hipérbole que tem focos (2,1) e (4,1) e excentricidade 2raiz3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a equação da hipérbole que tem focos nos pontos (2,1) e (4,1), e uma excentricidade de 2raiz3. Para isso, vamos usar alguns conceitos de geometria analítica, especificamente sobre hipérboles, focos, e excentricidade. Precisamos entender a posição dos focos, calcular o centro da hipérbole, e usar a relação entre os parâmetros para chegar na equação final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os focos da hipérbole: (2,1) e (4,1). Como os dois pontos têm a mesma coordenada y, a hipérbole está alinhada horizontalmente.

Passo 3

O centro da hipérbole fica no ponto médio entre os focos. Para encontrar o centro (h,k), calculamos:
h = 2 + 42 = 3 k = 1 + 12 = 1
Então, o centro é (3,1).

Passo 4

A distância entre os focos é 2c, onde c é a distância do centro a cada foco. Calculando:
2c = 4 - 2 = 2 c = 1
Então, c = 1.

Passo 5

A excentricidade e da hipérbole é dada por e = ca. Sabemos que e = 2raiz3, então podemos calcular a:
2raiz3 = 1a a = raiz32

Passo 6

Agora, precisamos encontrar b. A relação entre a, b e c para hipérboles é:
c^2 = a^2 + b^2
Substituindo os valores:
1^2 = (raiz32)^2 + b^2 1 = 34 + b^2 b^2 = 1 - 34 = 14
Então, b = 12.

Passo 7

Com todos os parâmetros encontrados, podemos escrever a equação da hipérbole com centro em (h,k), eixo horizontal:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Substituindo h = 3, k = 1, a = raiz32 e b = 12:
(x - 3)^2(raiz32)^2 - (y - 1)^2(12)^2 = 1 (x - 3)^234 - (y - 1)^214 = 1

Resposta

A equação da hipérbole é:
(x - 3)^234 - (y - 1)^214 = 1

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