Seja R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ a transformação linear dada pela matriz abaixo. Calcule uma base para a imagem de $$, i.e., para .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear definida pela matriz . Nosso objetivo é encontrar uma base para a imagem de , que é basicamente o conjunto de todos os vetores que pode produzir. Para isso, vamos precisar usar o que a gente chama de espaço de colunas da matriz . Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na matriz :
Para encontrar uma base para a imagem, a gente vai identificar quais colunas dessa matriz são linearmente independentes. Isso geralmente fazemos colocando a matriz em forma escalonada usando operações elementares de linha.
Passo 3
Começamos com a primeira coluna. Já está bom, com o 1 no topo. Agora, vamos zerar o elemento abaixo desse 1 na terceira linha. Para isso, adicionamos 2 vezes a primeira linha à terceira linha:
Legal, agora a terceira linha ficou toda de zero.
Passo 4
Agora, olhamos para a segunda coluna da segunda linha. Ela já está zerada, então passamos para a terceira coluna. Vemos que o 2 na segunda linha e terceira coluna é um pivot, ou seja, um elemento importante para determinar a independência das colunas. Como temos um pivot aqui, isso significa que a terceira coluna é independente das anteriores.
Passo 5
Com isso, identificamos que a primeira e a terceira colunas são os pivôs. Então, as colunas correspondentes na matriz original são:
Resposta
Uma base para a imagem de é formada pelos vetores e .