Determine a equação da linha elástica para <br> a viga utilizando a coordenada x que é válida para <br> 0 <= x. Especifique a inclinação em A e a defle- <br> xão máxima da viga. E I é constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a equação da linha elástica de uma viga usando a coordenada para . Também precisamos especificar a inclinação no ponto e a deflexão máxima da viga. Vamos trabalhar com a matéria de Flexão de Vigas e usar fórmulas de Equilíbrio e Geometria para resolver. Vamos precisar das fórmulas da linha elástica e das condições de contorno para desenvolver a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a linha elástica. Ela descreve a forma que a viga assume quando está sujeita a cargas. A equação da linha elástica relaciona a deflexão EI d^2 ydx^2 = M(x) com a posição ao longo da viga. A fórmula básica usada é:
Onde:
  • é o módulo de Young da viga.
  • é o momento de inércia da seção transversal.
  • é o momento fletor na posição .
Como é constante, podemos simplificar a equação.

Passo 3

Vamos integrar a equação para encontrar a primeira derivada d^2 ydx^2 = M(x)EI implies dydx = 1EI integral M(x) , dx + C1 que representa a inclinação da viga. Integrando ambos os lados:
Aqui, é uma constante de integração que será determinada pelas condições de contorno da viga.

Passo 4

Agora, integramos novamente para encontrar y(x) = 1EI integral ( integral M(x) , dx ) dx + C1 x + C2 , a deflexão da viga:
Onde é outra constante de integração.

Passo 5

Para determinar as constantes y(0) = 0 e dydxg|x=0 = 0 e 0 = C2 implies C2 = 0 , precisamos aplicar as condições de contorno da viga. Geralmente, em problemas de flexão, as condições de contorno podem ser:
  1. Deflexão zero em apoios fixos.
  2. Inclinação zero em apoios articulados.
Assumindo que dydxg|x=0 = C1 = 0 é um apoio fixo na extremidade , temos:
Aplicando na equação de :
E para a inclinação:

Passo 6

Com y(x) = 1EI integral ( integral M(x) , dx ) dx e , a equação da deflexão simplifica para:
Agora, precisamos expressar . Se a viga estiver submetida a uma carga distribuída ou concentrada, o momento fletor será uma função de . Supondo uma carga uniforme ou outra condição específica, inseriríamos aqui a expressão de .

Passo 7

Vamos supor que a viga está simplesmente apoiada e sujeita a uma carga distribuída M(x) = q2 x (L - x) . O momento fletor é dado por:
y(x) = 1EI integral ( integral q2 x (L - x) , dx ) dx
Substituindo na equação de :

Passo 8

Vamos integrar passo a passo:
Primeira integração para encontrar integral q2 x (L - x) , dx = q2 ( L x^22 - x^33 ) + C1 :
dydx = q2 EI ( L x^22 - x^33 )
Como y(x) = q2 EI ( L x^36 - x^412 ) + C2 :
y(x) = q2 EI ( L x^36 - x^412 )
Segunda integração para encontrar y(x) = q x^312 EI (2L - x) :
Com :
Simplificando:

Passo 9

Agora, temos que encontrar a inclinação em dydxg|x=0 = 0 e a deflexão máxima.
A inclinação em dydx = q2 EI ( L x^22 - x^33 ) = 0 ( L x^22 - x^33 = 0 implies x^2 ( L2 - x3 ) = 0 ) já determinamos que é zero:
Para a deflexão máxima, vamos derivar e encontrar o ponto onde a derivada é zero:
Resolvendo para :
Assim, ou . Como , a deflexão máxima ocorre em .

Passo 10

Calculando a deflexão em y(L2) = q (L2)^312 EI (2L - L2) = q L^3812 EI (3L2) :
y(L2) = q L^396 EI cdot 32 = q L^364 EI
Simplificando:

Resposta

A equação da linha elástica para y(x) = q x^312 EI (2L - x) é:
y(L2) = q L^364 EI
A inclinação no ponto é zero, e a deflexão máxima da viga ocorre em , sendo igual a:

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