Determine a equação da linha elástica para <br> a viga utilizando a coordenada que é válida para <br> . Especifique a inclinação em e a defle- <br> xão máxima da viga. é constante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a equação da linha elástica de uma viga usando a coordenada para . Também precisamos especificar a inclinação no ponto e a deflexão máxima da viga. Vamos trabalhar com a matéria de Flexão de Vigas e usar fórmulas de Equilíbrio e Geometria para resolver. Vamos precisar das fórmulas da linha elástica e das condições de contorno para desenvolver a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a linha elástica. Ela descreve a forma que a viga assume quando está sujeita a cargas. A equação da linha elástica relaciona a deflexão com a posição ao longo da viga. A fórmula básica usada é:
Onde:
é o módulo de Young da viga.
é o momento de inércia da seção transversal.
é o momento fletor na posição .
Como é constante, podemos simplificar a equação.
Passo 3
Vamos integrar a equação para encontrar a primeira derivada que representa a inclinação da viga. Integrando ambos os lados:
Aqui, é uma constante de integração que será determinada pelas condições de contorno da viga.
Passo 4
Agora, integramos novamente para encontrar , a deflexão da viga:
Onde é outra constante de integração.
Passo 5
Para determinar as constantes e , precisamos aplicar as condições de contorno da viga. Geralmente, em problemas de flexão, as condições de contorno podem ser:
Deflexão zero em apoios fixos.
Inclinação zero em apoios articulados.
Assumindo que é um apoio fixo na extremidade , temos:
Aplicando na equação de :
E para a inclinação:
Passo 6
Com e , a equação da deflexão simplifica para:
Agora, precisamos expressar . Se a viga estiver submetida a uma carga distribuída ou concentrada, o momento fletor será uma função de . Supondo uma carga uniforme ou outra condição específica, inseriríamos aqui a expressão de .
Passo 7
Vamos supor que a viga está simplesmente apoiada e sujeita a uma carga distribuída . O momento fletor é dado por:
Substituindo na equação de :
Passo 8
Vamos integrar passo a passo:
Primeira integração para encontrar :
Como :
Segunda integração para encontrar :
Com :
Simplificando:
Passo 9
Agora, temos que encontrar a inclinação em e a deflexão máxima.
A inclinação em () já determinamos que é zero:
Para a deflexão máxima, vamos derivar e encontrar o ponto onde a derivada é zero:
Resolvendo para :
Assim, ou . Como , a deflexão máxima ocorre em .
Passo 10
Calculando a deflexão em :
Simplificando:
Resposta
A equação da linha elástica para é:
A inclinação no ponto é zero, e a deflexão máxima da viga ocorre em , sendo igual a: