Usando uma haste bifurcada, uma estaca lisa
de
é forçada a se mover ao longo do caminho vertical com fenda
, onde
está em radianos. Se a posição angular do braço for
rad, onde t está em segundos, determine a força da barra sobre o pino e a força normal da ranhura no pino no instante
. A cavilha está em contato com apenas uma borda da haste e ranhura a qualquer momento.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o que vamos precisar para resolver. Temos uma estaca lisa de massa
que se move ao longo de um caminho vertical descrito por uma função
metros, onde
está em radianos. A posição angular do braço é dada por
rad, com
em segundos. Precisamos determinar duas forças no instante
:
- A força da barra sobre o pino.
- A força normal da ranhura no pino.
Para isso, vamos utilizar conceitos de dinâmica rotacional, incluindo derivadas de posição angular para encontrar velocidade e aceleração, e analisar as forças envolvidas no sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a posição angular
no instante
. A função dada é:
Substituindo
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a velocidade angular
, que é a primeira derivada de
em relação ao tempo
. A derivada de
é:
Substituindo
:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a aceleração angular
, que é a segunda derivada de
em relação ao tempo
. A derivada de
é:
Passo 5
Sabendo que
, vamos calcular a velocidade linear
da estaca. A relação entre velocidade linear e angular é:
Substituindo
e os valores encontrados para
e
:
Passo 6
Agora, calculamos a aceleração centrípeta
, que é dada por:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 7
Além da aceleração centrípeta, há também a aceleração tangencial
, relacionada à aceleração angular
:
Substituindo
e
:
Passo 8
Agora, vamos analisar as forças atuantes na estaca. Há duas forças principais:
- Peso da estaca (
): atua para baixo e é calculado por , onde e .
-
Força da barra sobre o pino (
): atua na direção radial, devido à aceleração centrípeta. -
Força normal da ranhura (
): atua perpendicularmente à superfície de contato, relacionada à aceleração tangencial.
Passo 9
Calculando a força da barra sobre o pino
, que fornece a força centrípeta necessária para manter a estaca em movimento circular:
Passo 10
Calculando a força normal da ranhura
, que está relacionada à aceleração tangencial:
Resposta
No instante
:
- A força da barra sobre o pino é
. - A força normal da ranhura no pino é
.