Usando uma haste bifurcada, uma estaca lisa P de 0,5 kg é forçada a se mover ao longo do caminho vertical com fenda r=(0,5 theta) m, onde u está em radianos. Se a posição angular do braço for theta=(pi8 t^2) rad, onde t está em segundos, determine a força da barra sobre o pino e a força normal da ranhura no pino no instante t=2 s. A cavilha está em contato com apenas uma borda da haste e ranhura a qualquer momento.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o que vamos precisar para resolver. Temos uma estaca lisa de massa que se move ao longo de um caminho vertical descrito por uma função metros, onde está em radianos. A posição angular do braço é dada por rad, com em segundos. Precisamos determinar duas forças no instante :
  1. A força da barra sobre o pino.
  2. A força normal da ranhura no pino.
Para isso, vamos utilizar conceitos de dinâmica rotacional, incluindo derivadas de posição angular para encontrar velocidade e aceleração, e analisar as forças envolvidas no sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a posição angular theta = (pi8) t^2 no instante theta = (pi8) (2)^2 = (pi8) times 4 = pi2, rad . A função dada é:
Substituindo :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a velocidade angular omega = dthetadt = ddt(pi8 t^2) = pi4 t , que é a primeira derivada de omega = pi4 times 2 = pi2, rad/s em relação ao tempo . A derivada de é:
Substituindo :

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a aceleração angular alpha = domegadt = ddt(pi4 t) = pi4, rad/s^2 , que é a segunda derivada de em relação ao tempo . A derivada de é:

Passo 5

Sabendo que v = r omega , vamos calcular a velocidade linear r = 0,5 times pi2 = pi4, m da estaca. A relação entre velocidade linear e angular é:
v = pi4 times pi2 = pi^28, m/s
Substituindo e os valores encontrados para e :

Passo 6

Agora, calculamos a aceleração centrípeta ac = v^2r , que é dada por:
ac = (pi^28)^2pi4 = pi^464pi4 = pi^316, m/s^2
Substituindo os valores de e :

Passo 7

Além da aceleração centrípeta, há também a aceleração tangencial at = r alpha , relacionada à aceleração angular at = pi4 times pi4 = pi^216, m/s^2 :
Substituindo e :

Passo 8

Agora, vamos analisar as forças atuantes na estaca. Há duas forças principais:
  1. Peso da estaca ( P = 0,5 times 9,81 = 4,905, N ): atua para baixo e é calculado por , onde e .
  1. Força da barra sobre o pino ( ): atua na direção radial, devido à aceleração centrípeta.
  2. Força normal da ranhura ( ): atua perpendicularmente à superfície de contato, relacionada à aceleração tangencial.

Passo 9

Calculando a força da barra sobre o pino FR = m ac = 0,5 times pi^316 = pi^332, N , que fornece a força centrípeta necessária para manter a estaca em movimento circular:

Passo 10

Calculando a força normal da ranhura N = m at = 0,5 times pi^216 = pi^232, N , que está relacionada à aceleração tangencial:

Resposta

No instante :
  • A força da barra sobre o pino é .
  • A força normal da ranhura no pino é .

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