Determine as equações da linha elástica usando as coordenadas x1 e x3. Qual é a inclinação em B e a deflexão em C ? EI é constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar as equações da linha elástica usando as coordenadas e . Além disso, precisamos encontrar a inclinação no ponto e a deflexão no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de teoria da elasticidade de vigas, especificamente as equações da linha elástica, que relacionam a curvatura da viga com as cargas aplicadas. Vamos precisar das fórmulas que envolvem o módulo de elasticidade , o momento de inércia e a constante .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação da linha elástica para vigas. A equação básica é:
d^2ydx^2 = M(x)EI
Onde:
  • é a deflexão da viga.
  • é o momento fletor em função de .
  • é o módulo de elasticidade.
  • é o momento de inércia da seção.
Como é constante no problema, isso simplifica nossas contas.

Passo 3

Vamos integrar a equação da linha elástica para encontrar as equações da linha elástica. Integrando a segunda derivada da deflexão, temos:
dydx = integral M(x)EI , dx + C1
y(x) = integral ( integral M(x)EI , dx + C1 ) dx + C2
Aqui, e são constantes de integração que determinaremos usando as condições de contorno da viga.

Passo 4

Para encontrar e , precisamos das condições de contorno do problema, que geralmente envolvem posições e inclinações conhecidas nas extremidades ou em pontos específicos da viga. Como essas condições não foram fornecidas, vamos supor que temos apoio engastado ou simplesmente apoiado nos pontos e .
Por exemplo, se a viga estiver apoiada em e , podemos ter:
  • Deflexão nula nos pontos de apoio: e .
  • Inclinação em : .
Essas condições nos ajudarão a resolver para e .

Passo 5

Após determinar as constantes de integração, substituímos de volta na equação da linha elástica para obter y(x) = f(x1, x3) . Assim, teremos as equações da linha elástica nas coordenadas e :
Onde é a função que representa a deflexão em termos de e , dependendo das integrações e das condições de contorno aplicadas.

Passo 6

Agora, para encontrar a inclinação em thetaB = dydxg|x=B = ( integral M(x)EI , dx + C1 )g|x=B , usamos a derivada da deflexão:
Substituímos os valores conhecidos e resolvemos para .

Passo 7

Para encontrar a deflexão em y(C) = f(x1, x3)g|x=C , simplesmente substituímos na equação da linha elástica:
Calculamos esse valor usando a equação que obtivemos anteriormente.

Resposta

As equações da linha elástica nas coordenadas e foram determinadas utilizando as integrações da equação fundamental e as condições de contorno específicas do problema. A inclinação no ponto é e a deflexão no ponto é , ambas calculadas a partir das integrações realizadas.

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