Para que valores de b as retas 2 x+3 y=8 e 3 x+b y=1 são
(b) perpendiculares?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas dadas pelas equações e . A pergunta é: para quais valores de essas retas são perpendiculares?
Aqui, a matéria envolve estudo de retas no plano, mais especificamente, como encontrar a inclinação (ou coeficiente angular) das retas e saber quando duas retas são perpendiculares. Vamos precisar lembrar que duas retas são perpendiculares quando o produto dos seus coeficientes angulares é igual a .

Passo 2

Primeiro passo: vamos achar o coeficiente angular de cada reta. A maneira mais fácil de fazer isso é rearranjando cada equação para a forma 3y = -2x + 8 , onde y = -23x + 83 é o coeficiente angular.
Vamos começar com a primeira reta: .
Isolando :
Então, o coeficiente angular da primeira reta é .

Passo 3

Agora, vamos fazer a mesma coisa para a segunda reta: b y = -3x + 1 .
Isolando y = -3bx + 1b :
Então, o coeficiente angular da segunda reta é .

Passo 4

Agora, lembrando que duas retas são perpendiculares se o produto dos seus coeficientes angulares for igual a m1 cdot m2 = -1 :
-23 cdot (-3b) = -1
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos resolver essa equação:
-23 cdot (-3b) = 63b = 2b
Agora, igualamos a 2b = -1 :

Passo 6

Para achar 2b = -1 , vamos resolver a equação:
2 = -b
Multiplicando ambos os lados por b = -2 :
Então,

Resposta

O valor de para que as retas sejam perpendiculares é .

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