Determine a equação da parábola de foco F(2,1) e reta diretriz x - 4 = 0.

Passo 1

Beleza! A gente precisa encontrar a equação de uma parábola que tem o foco em e a reta diretriz dada por . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente as propriedades das parábolas, onde a distância de qualquer ponto na parábola até o foco é igual à distância desse ponto até a diretriz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a orientação da parábola. A diretriz é a reta , que é uma reta vertical passando por . Como a diretriz é vertical, a parábola vai ser horizontal, abrindo para a esquerda ou para a direita.

Passo 3

O foco é o ponto . Sabemos que para uma parábola horizontal, a equação geral é:
onde é o vértice da parábola e é a distância do vértice ao foco.

Passo 4

Vamos encontrar o valor de . A distância entre a diretriz e o foco é . Como o foco está a 2 unidades da diretriz, isso significa que (o negativo porque a parábola abre para a esquerda).

Passo 5

Agora, encontramos o vértice da parábola. O vértice fica no meio entre o foco e a diretriz. Como a distância é 2 unidades e o foco está em , o vértice estará em . A coordenada y do vértice é a mesma do foco, ou seja, . Então, o vértice é .

Passo 6

Substituindo , e na equação geral da parábola, temos:

Resposta

A equação da parábola é .

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