- a) Mostre que o número de soluções inteiras não negativas de uma equação da forma
, com
inteiro é
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que o número de soluções inteiras não negativas da equação
é dado por
. Isso está dentro da área de Combinatória, mais especificamente no que fala sobre combinações com repetição. Para resolver, vamos usar o método conhecido como “estrelas e barras”.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar soluções inteiras não negativas para a equação
. Isso quer dizer que queremos distribuir
itens indistinguíveis em
categorias, onde cada categoria pode receber zero ou mais itens.
Passo 3
O método das estrelas e barras é uma técnica que facilita a contagem dessas distribuições. Imaginemos que cada item é representado por uma estrela (*), e as barras (|) separam os itens entre as categorias.
Passo 4
Para distribuir
estrelas em
categorias, precisamos de
barras para separar as categorias. Então, o total de símbolos que vamos arranjar é
estrelas +
barras =
símbolos.
Passo 5
Agora, queremos saber de quantas formas diferentes podemos arranjar esses
símbolos, escolhendo
posições para as barras. As estrelas preencherão as posições restantes.
Passo 6
A quantidade de arranjos possíveis é dada pelo número de combinações de
elementos tomados
de cada vez, o que é representado pela notação de combinação:
Resposta
O número de soluções inteiras não negativas da equação
é
.
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e reta diretriz
.
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.