• a) Mostre que o número de soluções inteiras não negativas de uma equação da forma , com inteiro é

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que o número de soluções inteiras não negativas da equação é dado por . Isso está dentro da área de Combinatória, mais especificamente no que fala sobre combinações com repetição. Para resolver, vamos usar o método conhecido como “estrelas e barras”.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar soluções inteiras não negativas para a equação . Isso quer dizer que queremos distribuir itens indistinguíveis em categorias, onde cada categoria pode receber zero ou mais itens.

Passo 3

O método das estrelas e barras é uma técnica que facilita a contagem dessas distribuições. Imaginemos que cada item é representado por uma estrela (*), e as barras (|) separam os itens entre as categorias.

Passo 4

Para distribuir estrelas em categorias, precisamos de barras para separar as categorias. Então, o total de símbolos que vamos arranjar é estrelas + barras = símbolos.

Passo 5

Agora, queremos saber de quantas formas diferentes podemos arranjar esses símbolos, escolhendo posições para as barras. As estrelas preencherão as posições restantes.

Passo 6

A quantidade de arranjos possíveis é dada pelo número de combinações de elementos tomados de cada vez, o que é representado pela notação de combinação:

Resposta

O número de soluções inteiras não negativas da equação é .

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