Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
A parte do hiperbolóide
que está a direita do plano
, Resp.:
A parte do hiperbolóide
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para encontrar uma equação paramétrica para uma parte específica de um hiperbolóide, que é uma superfície geométrica. O hiperbolóide dado é
, e a parte que precisamos considerar é a que está à direita do plano
(ou seja, onde
). Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de parametrização de superfícies e trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa parametrizar uma superfície. Basicamente, queremos expressar as coordenadas
,
e
em termos de duas variáveis, geralmente chamadas de
e
. Essas variáveis vão variar dentro de certos intervalos para cobrir toda a parte da superfície que queremos representar.
Passo 3
Vamos olhar para a equação do hiperbolóide:
. Observamos que é uma equação de segundo grau em
,
e
, o que caracteriza o hiperbolóide de uma folha. Nossa meta é expressar
,
e
em termos de
e
de forma que essa equação seja satisfeita.
Passo 4
Para facilitar a parametrização, podemos usar funções trigonométricas que naturalmente satisfazem a equação do hiperbolóide. Vamos escolher:
Aqui,
e
são funções trigonométricas que nos ajudarão a garantir que a equação do hiperbolóide seja atendida.
Passo 5
Vamos verificar se essas parametrizações realmente satisfazem a equação
:
Então,
Sabemos que
(uma identidade trigonométrica válida), o que confirma que nossa parametrização está correta.
Passo 6
Agora, vamos definir os intervalos das variáveis
e
para cobrir toda a parte do hiperbolóide à direita do plano
:
-
Para
, como usamos e , precisamos evitar valores onde essas funções não estão definidas, ou seja, onde ou (porque a secante e a tangente não são definidas nesses pontos). Portanto, varia de a . -
Para
, que está associado aos ângulos no plano , vamos variar de a para garantir que estamos cobrindo a parte à direita do plano (onde ).
Resposta
A equação paramétrica para a parte do hiperbolóide
que está à direita do plano
é: