Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
A parte do hiperbolóide x^2 + y^2 - z^2 = 1 que está a direita do plano x z, Resp.: r(u, v) = (sec(u) cos(v), sec(u) sen(v), tan(u)), (u, v) em [-pi/2, pi/2] x [0, pi], t ≠ pi/2, t != 3 pi 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para encontrar uma equação paramétrica para uma parte específica de um hiperbolóide, que é uma superfície geométrica. O hiperbolóide dado é , e a parte que precisamos considerar é a que está à direita do plano (ou seja, onde ). Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de parametrização de superfícies e trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa parametrizar uma superfície. Basicamente, queremos expressar as coordenadas , e em termos de duas variáveis, geralmente chamadas de e . Essas variáveis vão variar dentro de certos intervalos para cobrir toda a parte da superfície que queremos representar.

Passo 3

Vamos olhar para a equação do hiperbolóide: . Observamos que é uma equação de segundo grau em , e , o que caracteriza o hiperbolóide de uma folha. Nossa meta é expressar , e em termos de e de forma que essa equação seja satisfeita.

Passo 4

Para facilitar a parametrização, podemos usar funções trigonométricas que naturalmente satisfazem a equação do hiperbolóide. Vamos escolher:
Aqui, e são funções trigonométricas que nos ajudarão a garantir que a equação do hiperbolóide seja atendida.

Passo 5

Vamos verificar se essas parametrizações realmente satisfazem a equação :
Então,
Sabemos que (uma identidade trigonométrica válida), o que confirma que nossa parametrização está correta.

Passo 6

Agora, vamos definir os intervalos das variáveis e para cobrir toda a parte do hiperbolóide à direita do plano :
  • Para , como usamos e , precisamos evitar valores onde essas funções não estão definidas, ou seja, onde ou (porque a secante e a tangente não são definidas nesses pontos). Portanto, varia de a .
  • Para , que está associado aos ângulos no plano , vamos variar de a para garantir que estamos cobrindo a parte à direita do plano (onde ).

Resposta

A equação paramétrica para a parte do hiperbolóide que está à direita do plano é:

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