Resolva o problema de valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem. A equação que temos é:
Além disso, temos as condições iniciais: e . Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica para encontrar soluções particulares para equações diferenciais lineares não homogêneas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para encontrar a solução geral dessa equação homogênea, vamos supor que a solução tem a forma . Substituindo na equação, temos:
Como nunca é zero, a equação característica é:
Essas raízes complexas indicam que a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito da equação é , que já está presente na solução homogênea, precisamos multiplicar nossa tentativa por para evitar duplicação. Assim, vamos tentar:
Calculando as derivadas:
Substituindo e suas derivadas na equação original e igualando os coeficientes, encontramos:
Então, a solução particular é:

Passo 4

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:

Passo 5

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeiro, com :
Então, .
Agora, derivamos para aplicar :
Substituindo e :

Resposta

A solução que satisfaz as condições iniciais é:

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Resp.: