Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem. A equação que temos é:
Além disso, temos as condições iniciais:
e
. Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica para encontrar soluções particulares para equações diferenciais lineares não homogêneas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para encontrar a solução geral dessa equação homogênea, vamos supor que a solução tem a forma
. Substituindo na equação, temos:
Como
nunca é zero, a equação característica é:
Essas raízes complexas indicam que a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o lado direito da equação é
, que já está presente na solução homogênea, precisamos multiplicar nossa tentativa por
para evitar duplicação. Assim, vamos tentar:
Calculando as derivadas:
Substituindo
e suas derivadas na equação original e igualando os coeficientes, encontramos:
Então, a solução particular é:
Passo 4
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 5
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Primeiro, com
:
Então,
.
Agora, derivamos
para aplicar
:
Substituindo
e
:
Resposta
A solução que satisfaz as condições iniciais é:
Exercícios relacionados
Determine o valor médio de
sobre o retângulo dado.
Faça um esboço dos conjuntos a seguir:
Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
Plano que contém o ponto
e os vetores diretores
e
,
Resp.:
Plano
Resp.: