Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
Plano
que contém o ponto
e os vetores diretores
e
,
Resp.:
Plano
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma equação paramétrica para um plano que passa pelo ponto
e é direcionado pelos vetores
e
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e álgebra vetorial. Vamos precisar entender como montar uma equação paramétrica usando um ponto conhecido e dois vetores diretores que definem o plano.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma equação paramétrica de um plano. Ela serve para descrever todos os pontos que estão naquele plano usando dois parâmetros, geralmente chamados de
e
. A forma geral é:
Onde:
-
é um ponto conhecido no plano. -
e são vetores diretores que estão no plano. -
e são parâmetros que variam livremente.
No nosso caso, o ponto conhecido é
e os vetores diretores são
e
.
Passo 3
Vamos substituir essas informações na forma geral da equação paramétrica. Primeiro, escrevemos o ponto
:
Depois, os vetores diretores
e
:
Agora, montamos a equação paramétrica:
Passo 4
Vamos fazer as operações vetoriais para simplificar a equação. Isso significa que somamos componente a componente:
Simplificando cada componente:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Passo 5
Agora, juntando todas as componentes, a equação paramétrica do plano fica:
E para os parâmetros, geralmente escolhemos intervalos que cubram o plano adequadamente. No nosso caso, os parâmetros
e
estão definidos nos intervalos:
Resposta
A equação paramétrica do plano é:
com os parâmetros variando em:
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Determine o valor médio de
sobre o retângulo dado.
Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
A parte do parabolóide que está acima do plano
, Resp.:
A parte do parabolóide