Determine uma equação paramétrica para cada uma das superfícies dadas.
Plano pi que contém o ponto (1, 2, -3) e os vetores diretores v1 = (1, 1, -1) e v2 = (1, -1, 1),
Resp.: r(u, v) = (u + v + 1, u - v + 2, -u + v - 3), (u, v) em [0, 2 pi] x [1, 3 pi]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma equação paramétrica para um plano que passa pelo ponto e é direcionado pelos vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e álgebra vetorial. Vamos precisar entender como montar uma equação paramétrica usando um ponto conhecido e dois vetores diretores que definem o plano.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma equação paramétrica de um plano. Ela serve para descrever todos os pontos que estão naquele plano usando dois parâmetros, geralmente chamados de u e v. A forma geral é:
Onde:
  • é um ponto conhecido no plano.
  • e são vetores diretores que estão no plano.
  • u e v são parâmetros que variam livremente.
No nosso caso, o ponto conhecido é e os vetores diretores são e .

Passo 3

Vamos substituir essas informações na forma geral da equação paramétrica. Primeiro, escrevemos o ponto :
Depois, os vetores diretores e :
Agora, montamos a equação paramétrica:

Passo 4

Vamos fazer as operações vetoriais para simplificar a equação. Isso significa que somamos componente a componente:
Simplificando cada componente:
  • Componente x:
  • Componente y:
  • Componente z:

Passo 5

Agora, juntando todas as componentes, a equação paramétrica do plano fica:
E para os parâmetros, geralmente escolhemos intervalos que cubram o plano adequadamente. No nosso caso, os parâmetros u e v estão definidos nos intervalos:

Resposta

A equação paramétrica do plano é:
com os parâmetros variando em:

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