Determine a equação paramétrica das curvas dadas
f) C é a curva de interseção do parabolóide z = 16 - x^2 - y^2 com o plano z = 9,
Resp.: C(t) = (raiz(7) * cos(t), raiz(7) * sen(t), 9), 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação paramétrica da curva C, que é onde o parabolóide intercepta o plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e parametrização de curvas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir como essas duas superfícies se encontram. Para isso, já que no plano , o valor de z é sempre 9, vamos substituir isso na equação do parabolóide:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para :
Isso representa uma circunferência no plano com raio raiz(7).

Passo 4

Para escrever a equação paramétrica dessa circunferência, podemos usar as fórmulas trigonométricas padrão:
Onde r é o raio da circunferência e t é o parâmetro que varia de 0 a .

Passo 5

Sabendo que o raio e que z sempre é 9 no plano, substituímos na equação paramétrica:

Resposta

A equação paramétrica da curva C é:

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