Determine a equação paramétrica das curvas dadas
e) C é a hélice circular de centro -2,3,-4 e raio 2 , que sobe 3 (unidades) a cada volta e que possui um total de 1 volta e meia de altura.
Resp.: C(t) = (2 cos(t) - 2, 2 sen(t) + 3, -4 + (3t) / (2 pi), 0 <= t <= 3 pi)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma hélice circular chamada C, que está centrada no ponto . O raio dessa hélice é 2 unidades. Ela sobe 3 unidades a cada volta completa e vai dar um total de 1 volta e meia. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações paramétricas de uma hélice, que combinam funções trigonométricas para o movimento circular com uma função linear para o movimento ascendente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parte circular da hélice. Como o raio é 2, as coordenadas x e y vão oscilar em função do ângulo t. Normalmente, a hélice no espaço é descrita por:
Onde R é o raio e t é o parâmetro que representa o ângulo.

Passo 3

Nossa hélice não está centrada na origem, mas sim no ponto . Isso significa que precisamos deslocar as coordenadas x e y desse ponto para ajustar o centro da hélice. Então, as equações ficam:
Onde é o centro da hélice.

Passo 4

Agora, vamos para a coordenada z. A hélice sobe 3 unidades a cada volta completa (que é radianos). Isso significa que a taxa de subida por radiano é . Então, a equação para z será linear em função de t:
Onde é a coordenada inicial no eixo z.

Passo 5

Sabemos que a hélice vai completar 1,5 voltas. Como uma volta completa corresponde a radianos, 1,5 voltas correspondem a radianos. Portanto, o parâmetro t varia de 0 a .

Passo 6

Agora, juntando tudo, temos as equações paramétricas da hélice:

Resposta

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