Determine a equação paramétrica das curvas dadas
e) é a hélice circular de centro e raio 2 , que sobe 3 (unidades) a cada volta e que possui um total de 1 volta e meia de altura.
Resp.:

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma hélice circular chamada , que está centrada no ponto . O raio dessa hélice é 2 unidades. Ela sobe 3 unidades a cada volta completa e vai dar um total de 1 volta e meia. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações paramétricas de uma hélice, que combinam funções trigonométricas para o movimento circular com uma função linear para o movimento ascendente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parte circular da hélice. Como o raio é 2, as coordenadas e vão oscilar em função do ângulo . Normalmente, a hélice no espaço é descrita por:
Onde é o raio e é o parâmetro que representa o ângulo.

Passo 3

Nossa hélice não está centrada na origem, mas sim no ponto . Isso significa que precisamos deslocar as coordenadas e desse ponto para ajustar o centro da hélice. Então, as equações ficam:
Onde é o centro da hélice.

Passo 4

Agora, vamos para a coordenada . A hélice sobe 3 unidades a cada volta completa (que é radianos). Isso significa que a taxa de subida por radiano é . Então, a equação para será linear em função de :
Onde é a coordenada inicial no eixo .

Passo 5

Sabemos que a hélice vai completar 1,5 voltas. Como uma volta completa corresponde a radianos, 1,5 voltas correspondem a radianos. Portanto, o parâmetro varia de a .

Passo 6

Agora, juntando tudo, temos as equações paramétricas da hélice:

Resposta

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Determine a equação paramétrica das curvas dadas
d) é o segmento de reta de a .
Resp.:
Determine a equação paramétrica das curvas dadas
c) é a circunferência de centro e raio 3 no plano coordenado
Resp.:
Determine a equação paramétrica das curvas dadas
f) é a curva de interseção do parabolóide com o plano ,
Resp.:
Determine a equação paramétrica das curvas dadas
h) é a curva de interseção do elipsóide com o
Resp.: