Determine a equação paramétrica das curvas dadas
e)
é a hélice circular de centro
e raio 2 , que sobe 3 (unidades) a cada volta e que possui um total de 1 volta e meia de altura.
Resp.:
e)
Resp.:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma hélice circular chamada
, que está centrada no ponto
. O raio dessa hélice é 2 unidades. Ela sobe 3 unidades a cada volta completa e vai dar um total de 1 volta e meia. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações paramétricas de uma hélice, que combinam funções trigonométricas para o movimento circular com uma função linear para o movimento ascendente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parte circular da hélice. Como o raio é 2, as coordenadas
e
vão oscilar em função do ângulo
. Normalmente, a hélice no espaço é descrita por:
Onde
é o raio e
é o parâmetro que representa o ângulo.
Passo 3
Nossa hélice não está centrada na origem, mas sim no ponto
. Isso significa que precisamos deslocar as coordenadas
e
desse ponto para ajustar o centro da hélice. Então, as equações ficam:
Onde
é o centro da hélice.
Passo 4
Agora, vamos para a coordenada
. A hélice sobe 3 unidades a cada volta completa (que é
radianos). Isso significa que a taxa de subida por radiano é
. Então, a equação para
será linear em função de
:
Onde
é a coordenada inicial no eixo
.
Passo 5
Sabemos que a hélice vai completar 1,5 voltas. Como uma volta completa corresponde a
radianos, 1,5 voltas correspondem a
radianos. Portanto, o parâmetro
varia de
a
.
Passo 6
Agora, juntando tudo, temos as equações paramétricas da hélice:
Resposta
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Determine a equação paramétrica das curvas dadas
d) é o segmento de reta de
a
.
Resp.:
d)
Resp.:
Determine a equação paramétrica das curvas dadas
c) é a circunferência de centro
e raio 3 no plano coordenado
Resp.:
c)
Resp.:
Determine a equação paramétrica das curvas dadas
f) é a curva de interseção do parabolóide
com o plano
,
Resp.:
f)
Resp.:
Determine a equação paramétrica das curvas dadas
h) é a curva de interseção do elipsóide
com o
Resp.:
h)
Resp.: