Determine a equação paramétrica das curvas dadas
b) C é a elípse x^2/16 + y^2/25 = 1 Resp.: C(t) = (4 cos(t), 5 sen(t)), 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação paramétrica da curva C, que é uma elipse dada por . Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de geometria analítica sobre elipses e parametrização de curvas. Basicamente, vamos expressar x e y em função de um parâmetro, geralmente chamado de t, que varia de 0 a .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a forma padrão da equação de uma elipse centrada na origem:
Aqui, a é o semi-eixo maior (horizontal) e b é o semi-eixo menor (vertical). No nosso caso, comparando com a equação dada , vemos que e . Então, e .

Passo 3

Agora, para parametrizar a elipse, usamos funções trigonométricas, já que a elipse pode ser pensada como uma deformação do círculo. A parametrização geral para uma elipse é:
onde t é o parâmetro que varia de 0 a .

Passo 4

Aplicando os valores de a e b que encontramos:
Assim, a equação vetorial paramétrica da elipse fica:

Resposta

A equação paramétrica da elipse C é:

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