Encontre o operador nabla para coordenadas esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o operador nabla nas coordenadas esféricas. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre como expressar o operador nabla em diferentes sistemas de coordenadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as coordenadas esféricas e como transformar o operador nabla desse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são definidas as coordenadas esféricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é descrito por três coordenadas: r (a distância do ponto até a origem), theta (o ângulo polar, medindo a inclinação em relação ao eixo z) e phi (o ângulo azimutal, medindo a rotação no plano xy).

Passo 3

Agora, para encontrar o operador nabla nessas coordenadas, precisamos expressar as derivadas parciais em termos de r, theta e phi. Isso envolve calcular como as variações nas coordenadas esféricas afetam as componentes do operador.

Passo 4

O próximo passo é usar a relação geral do operador nabla em coordenadas curvilíneas. Em coordenadas esféricas, o operador nabla fica assim:
Aqui, , θ^ e são os vetores unitários nas direções radiais, polar e azimutal, respectivamente.

Passo 5

Explicando cada termo: a primeira parte, , lida com as variações na direção radial. A segunda parte, , considera como a função muda com o ângulo polar, e a última parte, , lida com as variações no ângulo azimutal. Os fatores e são importantes porque ajustam as derivadas para levar em conta a curvatura das coordenadas esféricas.

Resposta

O operador nabla em coordenadas esféricas é dado por:

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