Encontre o operador
para coordenadas esféricas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o operador
nas coordenadas esféricas. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre como expressar o operador nabla em diferentes sistemas de coordenadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as coordenadas esféricas e como transformar o operador
desse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são definidas as coordenadas esféricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é descrito por três coordenadas:
(a distância do ponto até a origem),
(o ângulo polar, medindo a inclinação em relação ao eixo z) e
(o ângulo azimutal, medindo a rotação no plano xy).
Passo 3
Agora, para encontrar o operador
nessas coordenadas, precisamos expressar as derivadas parciais em termos de
,
e
. Isso envolve calcular como as variações nas coordenadas esféricas afetam as componentes do operador.
Passo 4
O próximo passo é usar a relação geral do operador
em coordenadas curvilíneas. Em coordenadas esféricas, o operador
fica assim:
Aqui,
,
e
são os vetores unitários nas direções radiais, polar e azimutal, respectivamente.
Passo 5
Explicando cada termo: a primeira parte,
, lida com as variações na direção radial. A segunda parte,
, considera como a função muda com o ângulo polar, e a última parte,
, lida com as variações no ângulo azimutal. Os fatores
e
são importantes porque ajustam as derivadas para levar em conta a curvatura das coordenadas esféricas.
Resposta
O operador
em coordenadas esféricas é dado por:
Exercícios relacionados
Determine a equação paramétrica das curvas dadas
b) é a elípse
Resp.:
b)
Utilize o método de integração por partes para calcular as seguintes integrais:
Determine a equação paramétrica das curvas dadas
c) é a circunferência de centro
e raio 3 no plano coordenado
Resp.:
c)
Resp.:
Determine a equação paramétrica das curvas dadas
d) é o segmento de reta de
a
.
Resp.:
d)
Resp.: