Encontre o operador para coordenadas esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o operador nas coordenadas esféricas. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre como expressar o operador nabla em diferentes sistemas de coordenadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as coordenadas esféricas e como transformar o operador desse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são definidas as coordenadas esféricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é descrito por três coordenadas: (a distância do ponto até a origem), (o ângulo polar, medindo a inclinação em relação ao eixo z) e (o ângulo azimutal, medindo a rotação no plano xy).

Passo 3

Agora, para encontrar o operador nessas coordenadas, precisamos expressar as derivadas parciais em termos de , e . Isso envolve calcular como as variações nas coordenadas esféricas afetam as componentes do operador.

Passo 4

O próximo passo é usar a relação geral do operador em coordenadas curvilíneas. Em coordenadas esféricas, o operador fica assim:
Aqui, , e são os vetores unitários nas direções radiais, polar e azimutal, respectivamente.

Passo 5

Explicando cada termo: a primeira parte, , lida com as variações na direção radial. A segunda parte, , considera como a função muda com o ângulo polar, e a última parte, , lida com as variações no ângulo azimutal. Os fatores e são importantes porque ajustam as derivadas para levar em conta a curvatura das coordenadas esféricas.

Resposta

O operador em coordenadas esféricas é dado por:

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Determine a equação paramétrica das curvas dadas
b) é a elípse Resp.:
Utilize o método de integração por partes para calcular as seguintes integrais:
Determine a equação paramétrica das curvas dadas
c) é a circunferência de centro e raio 3 no plano coordenado
Resp.:
Determine a equação paramétrica das curvas dadas
d) é o segmento de reta de a .
Resp.: