Utilize o método de integração por partes para calcular as seguintes integrais:
integral2^3 x ln (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida de de 2 a 3 usando o método de integração por partes. Esse método é uma técnica de cálculo que ajuda a integrar o produto de duas funções. Para isso, vamos precisar escolher quais partes da nossa integral serão e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos identificar qual parte da nossa integral será e qual será .

Passo 3

Escolhemos:
u = ln(x) e dv = x , dx
Essa escolha é boa porque a derivada de é mais simples, e a integral de também é fácil de calcular.

Passo 4

Agora, vamos calcular du = 1x , dx e v = integral x , dx = x^22 :

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x ln(x) , dx = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= ( ln(x) cdot x^22 ) - integral x^22 cdot 1x , dx

Passo 6

Simplificando a integral restante:
= x^22 ln(x) - 12 integral x , dx
= x^22 ln(x) - 12 cdot x^22
= x^22 ln(x) - x^24

Passo 7

Agora, vamos avaliar essa expressão de 2 a 3:
[ 3^22 ln(3) - 3^24 ] - [ 2^22 ln(2) - 2^24 ]
= [ 92 ln(3) - 94 ] - [ 2 ln(2) - 1 ]

Passo 8

Simplificando os termos:
= 92 ln(3) - 94 - 2 ln(2) + 1
= 92 ln(3) - 2 ln(2) - 54

Resposta

A integral definida é igual a:
92 ln(3) - 2 ln(2) - 54

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