Sendo F(x, y, z) = sen(x) i + cos(x - y) j + z k, calcule nabla . (nabla x F)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial e precisamos calcular a divergência do rotacional desse campo, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o rotacional ( ) e a divergência ( ) de um vetor. Vamos passo a passo!

Passo 2

Vamos começar calculando o rotacional de . O rotacional de um vetor é dado por:
Onde , e .

Passo 3

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  • Para a componente :
Portanto:
  • Para a componente :
Portanto:
  • Para a componente :
Portanto:

Passo 4

Agora, juntando todas as componentes, temos:

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a divergência do rotacional encontrado. A divergência de um vetor é dada por:
No nosso caso, , então:

Passo 6

Calculando cada termo da divergência:

Passo 7

Somando todos os termos:

Resposta

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