Seja a transformação linear dada pela matriz abaixo. Seja . Calcule uma base para a imagem de , i.e., para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformação Linear juntos! A gente tem uma transformação linear definida pela matriz . A gente precisa encontrar uma base para a imagem de , que basicamente são todos os vetores que consegue “alcançar”. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como espaços de imagem, colunas de matrizes e redução de linhas. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a imagem de é formada pelas colunas da matriz . Então, pra encontrar uma base para a imagem, precisamos identificar quais dessas colunas são linheramente independentes, ou seja, que nenhuma delas pode ser escrita como combinação das outras. Isso nos garante que a base será mínima e eficiente.

Passo 3

Vamos escrever a matriz :
Agora, vamos colocar essa matriz em forma escalonada por linhas usando operações elementares. Isso vai nos ajudar a identificar quais colunas são pivôs, ou seja, aquelas que vão estar na base da imagem.

Passo 4

Começamos pela primeira coluna. A primeira entrada é zero, então vamos trocar a primeira linha com uma que tenha um número diferente de zero na primeira coluna. Vamos trocar a primeira e a segunda linha:

Passo 5

Agora, vamos zerar os elementos abaixo do pivô (que é 6 na primeira coluna). Para isso:
  • Subtraímos vezes a primeira linha da terceira linha.
  • Subtraímos vezes a primeira linha da quarta linha.
Depois dessas operações, a matriz fica assim:

Passo 6

Agora, vamos olhar para a segunda coluna. A segunda linha ainda é zero, então passamos para a terceira linha. O elemento na segunda coluna da terceira linha é zero, então vamos para a quarta linha, onde temos . Esse será nosso próximo pivô.
Vamos usar a quarta linha como pivô para a segunda coluna e zerar os elementos acima e abaixo dele. Mas como já temos zeros acima, só precisamos ajustar a terceira linha se necessário.

Passo 7

Após a redução, identificamos que as colunas 1, 3 e 4 têm pivôs. Portanto, essas colunas correspondem a vetores que formam uma base para a imagem de .

Resposta

Uma base para a imagem de é formada pelos vetores das colunas 1 e 3 da matriz :

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Seja dada por
Verifique que é uma transformação linear e calcule a dimensão da imagem de .
Mostre que o conjunto de todas as matrizes diagonais reais de ordem em relação às operações de adição e multiplicação por escalar de matrizes é um espaço vetorial.
Seja . Mostre que é um subespaço vetorial de . Escolha uma base ordenada de e calcule nesta base, i.e., calcule .