Seja a transformação linear dada pela matriz abaixo. Seja . Calcule uma base para a imagem de , i.e., para .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformação Linear juntos! A gente tem uma transformação linear definida pela matriz . A gente precisa encontrar uma base para a imagem de , que basicamente são todos os vetores que consegue “alcançar”. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como espaços de imagem, colunas de matrizes e redução de linhas. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a imagem de é formada pelas colunas da matriz . Então, pra encontrar uma base para a imagem, precisamos identificar quais dessas colunas são linheramente independentes, ou seja, que nenhuma delas pode ser escrita como combinação das outras. Isso nos garante que a base será mínima e eficiente.
Passo 3
Vamos escrever a matriz :
Agora, vamos colocar essa matriz em forma escalonada por linhas usando operações elementares. Isso vai nos ajudar a identificar quais colunas são pivôs, ou seja, aquelas que vão estar na base da imagem.
Passo 4
Começamos pela primeira coluna. A primeira entrada é zero, então vamos trocar a primeira linha com uma que tenha um número diferente de zero na primeira coluna. Vamos trocar a primeira e a segunda linha:
Passo 5
Agora, vamos zerar os elementos abaixo do pivô (que é 6 na primeira coluna). Para isso:
Subtraímos vezes a primeira linha da terceira linha.
Subtraímos vezes a primeira linha da quarta linha.
Depois dessas operações, a matriz fica assim:
Passo 6
Agora, vamos olhar para a segunda coluna. A segunda linha ainda é zero, então passamos para a terceira linha. O elemento na segunda coluna da terceira linha é zero, então vamos para a quarta linha, onde temos . Esse será nosso próximo pivô.
Vamos usar a quarta linha como pivô para a segunda coluna e zerar os elementos acima e abaixo dele. Mas como já temos zeros acima, só precisamos ajustar a terceira linha se necessário.
Passo 7
Após a redução, identificamos que as colunas 1, 3 e 4 têm pivôs. Portanto, essas colunas correspondem a vetores que formam uma base para a imagem de .
Resposta
Uma base para a imagem de é formada pelos vetores das colunas 1 e 3 da matriz :