Mostre que o conjunto de todas as matrizes diagonais reais de ordem em relação às operações de adição e multiplicação por escalar de matrizes é um espaço vetorial.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado está pedindo para mostrar que o conjunto de todas as matrizes diagonais reais de ordem forma um espaço vetorial quando consideramos as operações de adição e multiplicação por escalar. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e quais são as propriedades que ele deve satisfazer. Vamos verificar passo a passo se as matrizes diagonais cumprem essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz diagonal. É uma matriz quadrada onde todos os elementos fora da diagonal principal são zero. Por exemplo, para , uma matriz diagonal tem a forma:
onde , , e são números reais.

Passo 3

Agora, vamos revisar brevemente o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos (neste caso, matrizes) que, junto com duas operações (adição e multiplicação por escalar), satisfaz uma série de propriedades, como a existência de um elemento neutro, a existência de inversos, a comutatividade da adição, entre outras.

Passo 4

Vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto das matrizes diagonais reais:
  1. Fechamento sob a adição: Se somarmos duas matrizes diagonais, o resultado também será uma matriz diagonal. Por exemplo:

$$

+

$$
Como podemos ver, o resultado é outra matriz diagonal.

Passo 5

  1. Fechamento sob a multiplicação por escalar: Se multiplicarmos uma matriz diagonal por um número real, o resultado também será uma matriz diagonal. Por exemplo, se multiplicarmos por :

$$
k \cdot

$$
Ainda é uma matriz diagonal.

Passo 6

  1. Associatividade da adição: A adição de matrizes é associativa, ou seja, . Isso se mantém verdade para matrizes diagonais.
  2. Comutatividade da adição: A adição de matrizes é comutativa, , também válido para matrizes diagonais.
  3. Elemento neutro: A matriz nula, onde todos os elementos são zero, é uma matriz diagonal e atua como elemento neutro, pois .
  4. Elementos inversos: Para cada matriz diagonal , existe uma matriz diagonal tal que .
  5. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de matrizes: .
  6. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: .
  7. Compatibilidade da multiplicação por escalares: .
  8. Multiplicação por escalar unidade: .
Todas essas propriedades são satisfeitas pelas matrizes diagonais reais com as operações padrão de adição e multiplicação por escalar.

Resposta

Portanto, demonstramos que o conjunto de todas as matrizes diagonais reais de ordem satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial. Logo, esse conjunto é, de fato, um espaço vetorial.

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